wzór de Moivre’a

[rutra]

Stosując wzór de Moivre’a:
mam wyrazić \(\displaystyle{ \cos 5 \alpha , \ \sin 5 \alpha}\) za pomocą \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) i \(\displaystyle{ \sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ z = r ^{n} (\cos n \alpha + i \sin \alpha ) \\
z ^{n} = r ^{n} (\cos n \alpha + i \sin n \alpha )}\)

Za \(\displaystyle{ n}\) podstawiam \(\displaystyle{ 5}\) i wychodzi mi
\(\displaystyle{ (\cos \alpha + i \sin \alpha ) ^{5} = \cos 5 \alpha + i \sin 5 \alpha}\)

Pytanie co dalej? Podniosę wyrażenie w nawiasie do piątej potęgi, ale jak wrazić \(\displaystyle{ \sin 5 \alpha}\) i \(\displaystyle{ \cos 5 \alpha}\) za pomocą \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) i \(\displaystyle{ \cos \alpha}\)

Z góry dzięki.

[szw1710]

Pierwszy krok w porządku. A teraz podnieś "normalnie" ten nawias do piątej potęgi (ze wzoru na dwumian Newtona) i porównaj współczynniki z tym pierwszym - otrzymanym ze wzoru de Moivre'a.

[bb314]

\(\displaystyle{ \begin{cases}(\cos \alpha + i \sin \alpha ) ^{5} = \cos 5 \alpha + i \sin 5 \alpha\\(\cos \alpha - i \sin \alpha ) ^{5} = \cos 5 \alpha - i \sin 5 \alpha\end{cases}\ \ \to\ \ \begin{cases}\cos5\alpha=\frac{(\cos\alpha+i\sin\alpha)^5+(\cos\alpha-i\sin\alpha)^5}{2}\\\sin5\alpha=\frac{(\cos\alpha+i\sin\alpha)^5-(\cos\alpha-i\sin\alpha)^5}{2i}\end{cases}}\)

[szw1710]

Nie o to chodziło. Zaprzęgasz do roboty funkcje hiperboliczne. Rozpisz to tak jak proponuję post wyżej. W tym tkwi istota zadania.

[bb314]

Nie o to chodziło.

Naprawdę?
Korzystając ze wzoru de Moivre'a przedstawiłam \(\displaystyle{ \cos5\alpha\ \ i\ \ \sin5\alpha}\) przy pomocy \(\displaystyle{ \sin\alpha \ \ i\ \ \cos\alpha}\).

Ale oczywiście Twoja propozycja też nie jest pozbawiona uroku
\(\displaystyle{ \cos5\alpha=\cos^5\alpha-\cos^3\alpha\sin^2\alpha+\cos\alpha\sin^4\alpha}\)
\(\displaystyle{ \sin5\alpha=\sin^5\alpha-\sin^3\alpha\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos^4\alpha}\)

[szw1710]

No dobrze, wyraziłaś funkcje argumentu \(\displaystyle{ 5x}\) przez funkcje argumentu \(\displaystyle{ x.}\) Po wykonaniu działań liczby urojone powinny zniknąć. Tym niemniej podtrzymuję swoją opinię, że chodziło raczej o finalną postać właśnie bez liczb urojonych tak, aby mieć przełożenie na geometrię - trygonometrię, czyli wzory na cosinus i sinus wielokrotności kąta.

[rutra]

Czyli jaki jest ostateczny wynik? Mi wyszło:

\(\displaystyle{ (cos \alpha + i sin \alpha ) ^{5} = cos ^{5} \alpha + 5 cos ^{4} \alpha i sin \alpha - 10 cos ^{3} \alpha sin ^{2} \alpha - 10 cos ^{2} \alpha i sin ^{3} \alpha + 10 cos \alpha sin ^{4} \alpha - sin ^{5} \alpha}\)

I nie wiem co z tym dalej zrobić.

[bb314]

\(\displaystyle{ (\cos \alpha + i \sin \alpha ) ^{5} =\cos5\alpha+i\sin5\alpha}\)

\(\displaystyle{ (\cos \alpha + i \sin \alpha ) ^{5} = \cos ^{5} \alpha + 5 \cos ^{4} \alpha i \sin \alpha - 10 \cos ^{3} \alpha \sin ^{2} \alpha - 10 \cos ^{2} \alpha i \sin ^{3} \alpha + \red 5\black \cos \alpha \sin ^{4} \alpha \red +i\black \sin ^{5} \alpha=}\)
trzeba zgrupować część rzeczywistą i część urojoną
\(\displaystyle{ =\cos ^{5} \alpha - 10 \cos ^{3} \alpha \sin ^{2} \alpha + 5 \cos \alpha \sin ^{4} +i\left( 5 \cos ^{4} \alpha \sin \alpha - 10 \cos ^{2} \alpha \sin ^{3} \alpha + \sin ^{5} \alpha\right)}\)

\(\displaystyle{ \cos5\alpha=\cos ^{5} \alpha - 10 \cos ^{3} \alpha \sin ^{2} \alpha + 5 \cos \alpha \sin ^{4}}\)

\(\displaystyle{ \sin5\alpha= 5 \cos ^{4} \alpha \sin \alpha - 10 \cos ^{2} \alpha \sin ^{3} \alpha + \sin ^{5} \alpha}\)


* ja w sobotę zgubiłam współczynniki 5 i 10:(