Pierwiastki liczb zespolonych na wykresie

[opti]

Pytanie czysto teoretyczne, bo jednak trochę się pogubiłem. Mamy coś takiego:

\(\displaystyle{ w = 2 -2i}\)

Mamy policzyć pierwiastki 3 stopnia. Czyli 3 pierwiastki. Jak to zrobić - wiem, ale jak to zaznaczyć na osiach? Jak mamy liczyć pierwiastki stopnia 3, to będzie okrąg o promieniu równym 3? A jak stopnia 100, to okrąg o \(\displaystyle{ r = 100}\) ?

[szw1710]

Nie - pierwiastki trzeciego stopnia - trójkąt równoboczny. Setnego - stukąt foremny.

[opti]

Trochę nieprecyzyjnie się wyraziłem - tak, jeśli 3 - trójkąt równoboczny, 4 - kwadrat, 5 - pięciokąt foremny. Ale ten kwadrat będzie leżeć na okręgu o promieniu równym 4, tak? Ile pierwiastków, taki promień okręgu na którym zaznaczymy punkty i powstanie figura foremna?

[szw1710]

Też nie. Promień okręgu jest pierwiastkiem algebraicznym odpowiedniego stopnia z modułu liczby pierwiastkowanej. Przykładowo, jeśli liczysz pierwiastki stopnia \(\displaystyle{ 4}\) z liczby \(\displaystyle{ 1+i\sqrt{3}}\), to \(\displaystyle{ 1+i\sqrt{3}=2e^{i\frac{\pi}{3}}}\), więc \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1+i\sqrt{3}}=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{\frac{\pi}{3}+2k\pi}{4}}}\), gdzie \(\displaystyle{ i=0,1,2,3.}\) Więc moduł liczby pierwiastkowanej to \(\displaystyle{ 2}\), więc moduł pierwiastka czwartego stopnia to \(\displaystyle{ \sqrt[4]{2}}\).

[opti]

Mam zapisane coś takiego w zeszycie: "Pierwiastki zespolone z danej liczby jako punkty są na okręgu o promieniu równym pierwiastkowi stopnia n z tej liczby i są wierzchołkami wielokąta foremnego".

Czyli ta notatka wymaga chyba małej korekty.

Więc:
mamy policzyć pierwiastki 2 stopnia z czegoś takiego jak np.
\(\displaystyle{ w = 3 -5i}\)

Tutaj widzimy, że moduł wyniesie \(\displaystyle{ \sqrt{25} = 5}\) więc nasz okrąg będzie miał promień \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)?

[szw1710]

Moduł będzie \(\displaystyle{ 5}\), gdy \(\displaystyle{ w=3-4i.}\) Ale tak.

[opti]

Ok, bardzo dziękuję za pomoc - po prostu pominąłem co nieco w notatkach, i przez to sie pogubiłem.