równość równoległoboku

[franek89]

Wykazać równość równoległoboku:
\(\displaystyle{ z_1,z_2}\) należą do liczb zespolonych
\(\displaystyle{ |z_{1}+z_{2}|^{2}+|z_{1}-z_{2}|^{2}=2(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2})}\)

[pyzol]

Wypadałoby zacząć od podstawienia.
\(\displaystyle{ z_1=x_1+i y_1\\
z_2=x_2+ i y_2}\)

[franek89]

Czy to trzeba tak rozpisywać:
\(\displaystyle{ (x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2}) \cdot (x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2})+(x_{1}+iy_{1}-x_{2}-iy_{2}) \cdot (x_{1}+iy_{1}-x_{2}-iy_{2})=2(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}\)

i liczyć "na piechotę" czy jest jakiś myk?

[pyzol]

Ale źle robisz. To nie są liczby rzeczywiste i \(\displaystyle{ a^2\neq |a|^2}\)
\(\displaystyle{ z_1+z_2=x_1+iy_1+x_2+iy_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) \\
|z|^2=x^2+y^2}\)

[Dasio11]

Chyba łatwiej skorzystać ze wzoru

\(\displaystyle{ |z|^2 = z \cdot \overline z.}\)