Oblicz wyrazenie

[Dexous]

Mam do obliczenia takie wyrazenie
\(\displaystyle{ (1-i)^6}\)
o licze w taki sposob
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ \alpha = 2 \pi - \frac{\pi}{4}}\)
i po dalszych obliczeniach dochode ze jest to \(\displaystyle{ 4 \sqrt{2} -4 \sqrt{2} i}\) a wedlug wolframa wynik to \(\displaystyle{ 8i.}\) Gdzie jest blad bo nie moge znalezc


oraz nie jestem pewien nastepneg rownania
mam cos takiego
\(\displaystyle{ z^4-3iz^2+4=0}\)
\(\displaystyle{ z^2 = t}\)
\(\displaystyle{ t^2-3it+4=0}\)
po obliczeniu delty i pierwiastka wracam do poprzedniego podstawienia
\(\displaystyle{ z^2 = -i}\) lub \(\displaystyle{ z^2=4i}\)
i jak to mam dalej dokonczyc?

[pawellogrd]

1. \(\displaystyle{ (1-i)^6 = ((1-i)^2)^3 = (1 - 2i + i^2)^3 = (1-2i-1)^3 = (-2i)^3 = -8i^3 = 8i}\)

2. Skoro \(\displaystyle{ z^2=-i}\) to stąd otrzymujesz dwie wartości \(\displaystyle{ z}\) : \(\displaystyle{ z= \sqrt{-i} \vee z=- \sqrt{-i}}\). Analogicznie dla \(\displaystyle{ z^2=4i}\) . Wszystkie te pierwiastki możesz obliczyć korzystając ze wzoru na pierwiastki liczb zespolonych.

[Dexous]

Tylko to w takim razie co robie zle rozwiazujac zadanie nr 1 ?

[pawellogrd]

Błąd masz tutaj: \(\displaystyle{ \cos \alpha = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\), ale tam pewnie miałeś na myśli: \(\displaystyle{ \sin \alpha = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) bo wcześniej podałes prawidłową wartość cosinusa.

Zamiast \(\displaystyle{ \alpha = 2 \pi - \frac{\pi}{4}}\) możesz zapisać \(\displaystyle{ \alpha = - \frac{\pi}{4}}\) gdyż cosinus i sinus mają te same wartości dla obydwu tych kątów, a wydaje mi się, że łatwiej tej drugiej postaci będzie użyć (mniej liczenia).

Więc dalej \(\displaystyle{ (1+i)^6 = \sqrt{2}^6 \cdot \left( \cos \left( - \frac{6 \pi}{4}\right) + i \cdot \sin \left( - \frac{6 \pi}{4}\right) \right) = 8 \cdot (0 + 1 \cdot i) = 8i}\).

[Dexous]

Dobra to juz rozumie. Teraz tylko to drugie nie bardzo sie zgadza wedlug wolframa.
% ... E2%2B4%3D0

[pawellogrd]

A co się nie zgadza? Bo ja widzę, że wszystko jest ok:

\(\displaystyle{ z=\sqrt{-i} \vee z=- \sqrt{-i} \vee z=\sqrt{4i} \vee z=-\sqrt{4i}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-i} = -(-1)^{\frac{3}{4}}}\)

\(\displaystyle{ -\sqrt{-i} = (-1)^{\frac{3}{4}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{4i} = 2 \sqrt[4]{-1}}\)

\(\displaystyle{ - \sqrt{4i} = -2 \sqrt[4]{-1}}\)