Przekształcanie liczby na postać trygonometryczną

[Alojzy Pompka]

Mam problem - wiem, jak przekształcić na postać trygonometryczną liczbę typu \(\displaystyle{ \sqrt{3} +i}\), natomiast mam problem z przykładami typu \(\displaystyle{ \frac{1+i \cdot \tg \alpha }{\cos \alpha +i \cdot \sin \alpha }}\) Jak rozwiązywać tego typu przykłady?
Druga rzecz - w przykładzie \(\displaystyle{ (5+5i) \cdot \frac{3-i}{2+i}}\) wyszło po przekształceniu \(\displaystyle{ 10}\). Czy w takim razie nie rozwiązuję dalej tego przykładu (wydaje mi się, że w takim razie przy \(\displaystyle{ i}\) jest \(\displaystyle{ 0}\), więc jest to chyba liczba rzeczywista)?

[steal]

\(\displaystyle{ \frac{1+i \cdot \tg \alpha }{\cos \alpha +i \cdot \sin \alpha } = \frac{1+i \cdot \tg \alpha }{\cos \alpha(1 +i \cdot \tg \alpha) } = \frac{1}{\cos \alpha}=\frac{1}{\cos \alpha}\cdot \cos 0+i\cdot\sin 0}\)

[Alojzy Pompka]

Tzn też mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos \alpha }}\), ale jak dalej rozwiązywać taki przykład (znajdowanie modułu itp.)? Tu znowu nie ma chyba części urojonej. Czy dla każdej liczby, gdzie po przekształceniu nie ma \(\displaystyle{ i}\), argumentem jest \(\displaystyle{ 0}\)?

[steal]

Moduł obliczasz jak zawsze: \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\Re^2(z)+\Im^2(z)}}\)
Argumentem będzie \(\displaystyle{ \varphi = 0}\), bo aby liczba zespolona miała tylko część rzeczywistą, to musi leżeć na osi \(\displaystyle{ \Re}\), czyli kąt będzie zerowy.

[Alojzy Pompka]

Dzięki wielkie, już to rozumiem. Jeszcze jeden przykład:

\(\displaystyle{ 1-\cos x + i \cdot \sin x}\). Nie ma co upraszczać, więc przeszedłem od razu do obliczenia modułu i wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ \sqrt{2 \cdot (1-\cos x)}}\)
Czy coś jeszcze z tym mogę zrobić? I czy wtedy argumentem jest \(\displaystyle{ \sin x}\), czy jakieś równanie jeszcze najpierw trzeba zrobić?

[steal]

A jaki znasz wzór na argument?

[Alojzy Pompka]

Może moje pytania są trywialne, ale wczoraj pierwszy raz zetknąłem się z liczbami zespolonymi, także mogę mieć drobne braki
Z wzoru na argument wyszło \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2 \cdot (1- \cos x)} }{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{\sin x}{ \sqrt{2 \cdot (1- \cos x)} }}\). Takie wartości podstawiam do wzoru na postać trygonometryczną?