Wykaż że liczba nie jest pierwiastkiem

[Hirakata]

W jaki sposób wykazać, że liczba
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} i}\)
nie jest pierwiastkiem jedynki?

[mkb]

Gdyby była, istniałoby \(\displaystyle{ n}\), dla którego zerowała by się część urojona \(\displaystyle{ z^n}\) (warunek \(\displaystyle{ |z|=1}\) jest spełniony).
Z rozwinięcia \(\displaystyle{ (1+\sqrt{2}i)^n}\) łatwo wykazać, że tak nie jest ( \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m} (-2)^{k} \neq 0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ m}\)) .

[Hirakata]

To raczej nie jest aż takie proste. Chyba zapomniałeś w tej sumie o symbolu Newtona.

[Dasio11]

Niech \(\displaystyle{ \varphi=\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}.}\) Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{\varphi}{\pi} \notin \QQ.}\)

W tym celu pokaż indukcyjnie, że istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ a_n,}\) że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN \setminus \{ 0 \}}\) jest \(\displaystyle{ 3 \nmid a_n}\) oraz

\(\displaystyle{ \cos n \varphi = \frac{a_n}{\sqrt{3^n}}.}\)

Przydatny będzie wzór

\(\displaystyle{ \cos (n-1) \varphi + \cos (n+1) \varphi = 2 \cos n \varphi \cos \varphi.}\)