Postać kanoniczna -> trygonometryczna liczby zespolonej.

[Christofanow]

Witam!

Mam problem natury następującej: podana jest postać kanoniczna liczby zespolonej, mam przejść do postaci trygonometrycznej jednak nie mogę zrozumieć pewnego etapu tej konwersji.
\(\displaystyle{ z = \sqrt{3} + i
\newline
\left| z\right| = \sqrt{4} = 2
\newline
\cos \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\\
\sin \varphi = \frac{1}{2}}\)
Ustalam, że kąt leży w II ćwierci układu współrzędnych, wartości pasują do kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6} + 2k\pi}\)
\(\displaystyle{ z = 2\left[ \cos \frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right]}\)
Co mam liczyć dalej? Liczymy jeszcze jakieś \(\displaystyle{ \phi}\) ale nie rozumiem jak i dlaczego.
Pomożecie?

[Kartezjusz]

Popatrz,że masz dwa równania trygonometryczne,takie jak na maturze, a ten kąt,którego szukasz,to najmniejszy dodatni.

[Christofanow]

Zdaje się, że \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)
Tylko, że jeszcze liczymy jakieś duże fi, które nie wiem czym jest i po co. Możesz uzupełnić moje rozwiązanie aby było kompletne abym mógł analogicznie poćwiczyć inne przykłady?
Co gdy będę w II, III, IV ćwiartce? Coś się dodaje, odejmuje?

[Kartezjusz]

Ćwiartkę układu współrzędnych ustalasz przy informacji o znakach liczb. I-obie dodatnie
II-sinus dodatni i cosinus ujemny III-obie ujemne IV-cosinus dodatni , sinus ujemny.
Wybierasz najmniejszy taki kąt. który wyjdzie( argument główny).