Liczba urojona do dużej potęgi

[PiroBoss]

Mam taki przykład:
Znajdź część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ \left(\frac{1-i}{ \sqrt{3}+1 }\right) ^{30}}\)

To nie jest tak, że popatrzyłem i nie wiem jak zrobić więc wrzucam. Męczę się z tym i cały czas mi coś nie tak wychodzi.

Czy ktoś mógłby mi to wyprowadzić i wytłumaczyć dlaczego tak?

z góry bardzo dziękuję.

[Dasio11]

Na pewno w mianowniku jest \(\displaystyle{ \sqrt{3} + 1?}\)
Niezależnie od odpowiedzi, można skorzystać ze wzoru de Moivre'a. Najpierw trzeba przedstawić w postaci trygonometrycznej licznik (a w przypadku odpowiedzi negatywnej na pierwsze pytanie - również mianownik).

[PiroBoss]

Na pewno w mianowniku jest \(\displaystyle{ \sqrt{3} + 1?}\)

Napewno.

[Dasio11]

Dużo sensowniejsze byłoby \(\displaystyle{ \sqrt{3} + \mathrm i.}\)
Skoro nie, to mianownik \(\displaystyle{ \left(\sqrt{3} +1 \right)^{30}}\) można wyciągnąć i raczej nie ruszać. W liczniku po przedstawieniu w postaci trygonometrycznej skorzystać ze wzoru de Moivre'a, a potem ewentualnie ze wzorów redukcyjnych.

[PiroBoss]

W liczniku po sprowadzeniu do postaci trygonometrycznej wyszło mi:

\(\displaystyle{ \left(\sqrt{2}\right) ^{30}\left(\cos 52.5 \pi +i \sin 52.5 \pi \right)}\)

A po sprowdzeniu wszystkiego do postaci kanonicznej otrzymałem

\(\displaystyle{ 2 ^{15}i}\)

I co mam teraz zrobić żeby odpowiedzieć na pytanie z zadania?