potęgowanie liczb zespolonych

[franek89]

\(\displaystyle{ z_{1}=2 \left( \cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{7}{4}\pi+i\sin \frac{7}{4}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{z_{1}}{z_{2}} \right) ^{199}=\sqrt{2}^{199} \left( \cos \left( -\frac{17}{12}\pi \right) +i\sin \left( \frac{-17}{12}\pi \right) \right) ^{199}}\)

co z tym dalej można zrobić?

[Dasio11]

Zależy, co chce się osiągnąć. Nie podałeś polecenia.
Jeśli chodzi o uproszczenie wyrażenia w ostatniej linijce, to można użyć wzoru de Moivre'a.

[franek89]

Obliczyć. to mam tylko wymnożyć przez 199 w argumencie?

[Dasio11]

Wymnożyć i zastosować wzory redukcyjne.

[franek89]

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} \right) ^{199} \left( -\cos \frac{5}{12}\pi+i\sin \frac{5}{12}\pi \right) ^{199}=\sqrt{2}^{199} \left( -\cos \frac{995}{12}\pi+i\sin \frac{995}{12}\pi \right) = \left( \sqrt{2} \right) ^{199} \left( -\cos \left( \frac{11}{12}+82 \right) \pi \right) +i\sin \left( \frac{11}{12}+82 \right) \pi \right) = \left( \sqrt{2} \right) ^{199} \left( -\cos \frac{11}{12}\pi+i\sin \frac{11}{12}\pi \right)}\)

czy to tak ma wyglądać?

[777Lolek]

zacznijmy od tego, że jak podnosisz do potęgi jakiś sinus czy cosinus to nie podnosisz do potęgi miary kąta tylko samą funkcję, więc np. \(\displaystyle{ \left( \cos \left( \frac{5}{12}\pi \right) \right) ^{199} = \cos ^{199} \left( \frac{5}{12}\pi \right)}\) . Z tym że jak masz \(\displaystyle{ \left( a+b \right) ^n}\) to to nie działa tak że to jest \(\displaystyle{ a^n + b^n}\) tylko oprócz tego wiele brzydkich rzeczy.
Ja sam w pewien sposób doszedlem to czegoś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{2^{100}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{ \left( 2\cos ^2 \left( \frac{5}{12}\pi \right) - \frac{1}{2}i \right) ^{100}}{i\sin \left( \frac{5}{12}\pi \right) - \cos \left( \frac{5}{12}\pi \right) }}\)

Ale nie wiem czy nie popełniłem błędu, co z tym dalej zrobić ani czy w ogóle "warto" było przekształcać początkową postać do takiej postaci.

P.S. Nie musisz mnie za każdym razem "wołać" ;p

[Dasio11]

\(\displaystyle{ [...] = \left( \sqrt{2} \right) ^{199} \left( -\cos \left( \frac{11}{12}+82 \right) \pi \right) +i\sin \left( \frac{11}{12}+82 \right) \pi \right) = [...]}\)

czy to tak ma wyglądać?

Tutaj trochę omskły ci się nawiasy, ale reszta jest w porządku.
777Lolek, obczaj sobie - naprawdę piękna rzecz.

[777Lolek]

Aaha. No stokrotne dzięki. To ja się idę kajać i przy okazji doszkalać, a tu się lepiej więcej nie będę odzywał;o
Pozdrawiam