Pytanie o równość dla liczb zespolonych.

franek89 · Post autor: **franek89** » 6 paź 2012, o 14:26

czy to jest prawda i dlaczego:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{17}{12}\pi \right) +i\sin \left( -\frac{17}{12}\pi \right) \right) =\sqrt{2} \left( \cos \left( \frac{7}{12}\pi \right) +i\sin \left( \frac{7}{12}\pi \right) \right)}\)

?????
i ile to jest
\(\displaystyle{ i\sin \left( -\frac{17}{12}\pi \right)}\)

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 6 paź 2012, o 14:50

franek89 pisze:czy to jest prawda i dlaczego:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{17}{12}\pi \right) +i\sin \left( -\frac{17}{12}\pi \right) \right) =\sqrt{2} \left( \cos \left( \frac{7}{12}\pi \right) +i\sin \left( \frac{7}{12}\pi \right) \right)}\)

zmiana przy cosinusie jest ok, bo \(\displaystyle{ \ \cos(-x) = \cos x}\) bo funkcja cosinus jest symetryczna względem osi \(\displaystyle{ \ \mathrm{OY}}\) . Natomiast zmiana przy sinusie jest zła.
\(\displaystyle{ \sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha}\) więc \(\displaystyle{ \ \sin \left( -\frac{17}{12}\pi \right) = -\sin \left( -\frac{5}{12}\pi \right)}\)

franek89 · Post autor: **franek89** » 6 paź 2012, o 15:03

Ale dlaczego:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \left \cos \left( -\frac{17}{12}\pi \right) =\sqrt{2} \left \cos \left( \frac{7}{12}\pi \right)}\) ?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 6 paź 2012, o 15:09

Bo funkcja \(\displaystyle{ \cos x}\) jest parzysta, czyli tak jak napisał 777Lolek:

\(\displaystyle{ \cos (-x) = \cos x}\)

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 6 paź 2012, o 15:10

oj, wybacz, ja tam widzialem \(\displaystyle{ \frac{17}{12}\pi}\) , przeoczenie. zmiana przy cosinusie też nie jest ok ;p \(\displaystyle{ \cos (\alpha) = \cos (-\alpha)}\)

Więc \(\displaystyle{ \cos \left(-\frac{17}{12}\pi \right) = \cos \left(\frac{17}{12}\pi \right) = -\cos \left(\frac{5}{12}\pi \right)}\) , bo \(\displaystyle{ \cos (\alpha + \pi) = -\cos \alpha}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 6 paź 2012, o 15:12

Ale się zasugerowałem. Też widziałem tam \(\displaystyle{ 17}\). Pora na zmianę okularów

G17 · Post autor: **G17** » 6 paź 2012, o 17:24

\(\displaystyle{ \sin \left( -\frac{17}{12}\pi \right) = -\sin \left( \frac{17}{12}\pi \right) = - \sin \left( \pi + \frac{5}{12}\pi \right) = -\left[ - \sin \left( \frac{5}{12} \pi \right) \right] = \sin \left( \frac{5}{12} \pi \right)}\)

bb314 · Post autor: **bb314** » 6 paź 2012, o 21:02

Funkcje sinus i kosinus są funkcjami okresowymi o kresie \(\displaystyle{ 2\pi}\), więc

\(\displaystyle{ \cos \left( -\frac{17}{12}\pi \right) = \cos \left( -\frac{17}{12}\pi +2\pi\right) =\cos \left( -\frac{17}{12}\pi +\frac{24}{12}\pi\right) = \cos \left(\frac{5}{12}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( -\frac{17}{12}\pi \right) =\sin \left( -\frac{17}{12}\pi+2\pi \right) =\sin \left( -\frac{17}{12}\pi+\frac{24}{12}\pi \right) =\sin \left( \frac{5}{12}\pi \right)}\)

franek89 pisze:i ile to jest?
\(\displaystyle{ i\sin \left( -\frac{17}{12}\pi \right)}\)

\(\displaystyle{ \sin \left( -\frac{17}{12}\pi \right)=\sin \left( \frac{5}{12}\pi \right)=\cos \left( \frac{1}{2}\pi-\frac{5}{12}\pi \right)=\cos \left( \frac{6}{12}\pi-\frac{5}{12}\pi \right)=\cos \left( \frac{1}{12}\pi \right)}\)

\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{1}{12}\pi \right)=\cos \left( \frac{\frac{1}{6}\pi}{2} \right)=\sqrt{\frac{1+\cos\left( \frac{1}{6}\pi \right)}{2}}=\sqrt{\frac{1+ \frac{\sqrt3}{2}}{2}}=\blue\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}\black \approx 0,967}\)

to ze wzoru na kosinus połowy kąta
\(\displaystyle{ \color{magenta}\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}}\)

\(\displaystyle{ i\sin \left( -\frac{17}{12}\pi \right)=i\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}\black \approx 0,967\,i}\)

franek89 · Post autor: **franek89** » 7 paź 2012, o 11:23

bb314 pisze:Funkcje sinus i kosinus są funkcjami okresowymi o kresie \(\displaystyle{ 2\pi}\), więc

\(\displaystyle{ \cos \left( -\frac{17}{12}\pi \right) = \cos \left( -\frac{17}{12}\pi +2\pi\right) =\cos \left( -\frac{17}{12}\pi +\frac{24}{12}\pi\right) = \cos \left(\frac{5}{12}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( -\frac{17}{12}\pi \right) =\sin \left( -\frac{17}{12}\pi+2\pi \right) =\sin \left( -\frac{17}{12}\pi+\frac{24}{12}\pi \right) =\sin \left( \frac{5}{12}\pi \right)}\)

ale chyba będzie w wyniku \(\displaystyle{ \frac{7}{12} \pi}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 7 paź 2012, o 13:51

Zgadza się, bo jakby nie patrzeć, to \(\displaystyle{ -17+24=7}\)

ale jednocześnie możemy zapisać:

\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{7}{12} \pi\right) =\sin \left( \frac{1}{2} \pi+ \frac{1}{12} \pi \right) =\sin \left( \frac{1}{2} \pi- \frac{1}{12} \pi \right)=\sin\left( \frac{5}{12} \pi\right)}\)

czyli to co napisała bb314 jest prawdziwe choć nie wynika wprost z napisanego działania.