Liczba zespolona czwartego stopnia

[patlas]

Witam

Czy może mi ktoś rozpisać kolejno jak rozwiązać niżej zamieszczone równanie:

\(\displaystyle{ 4x^4+6ix^2-8=0}\)

[Qń]

Podstaw \(\displaystyle{ x^2=z}\), rozwiąż równanie kwadratowe, a następnie wróć do podstawienia.

Q.

[patlas]

zrobilem tak
\(\displaystyle{ t=x^2 \\
4t^2+6ti-8=0\\
\Delta\sub{t} = 36i^2 +32= -4\\
\sqrt\Delta\sub{t} = \pm 2i \\

\\
t\sub{1} = -4i\\
t\sub{2} = -2i\\}\)
dochodzę do etapu w którym dostaje:
\(\displaystyle{ x^2=-4i \vee x^2=-2i}\)

I nie wiem co dalej z tym zrobić

[bb314]

\(\displaystyle{ x^2=-4i \vee x^2=-2i}\)

\(\displaystyle{ x=-\sqrt{-4i}\ \vee\ x=\sqrt{-4i}\ \vee\ x=-\sqrt{-2i}\ \vee\ x=\sqrt{-2i}}\)

\(\displaystyle{ \color{magenta}\sqrt{-1}=i\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sqrt{i}=\frac{\sqrt2}{2}(1+i)}\)

[patlas]

Czy moglabyś mi wyjaśnić skąd wzięly się wyniki zaznaczone na różowo?

[bb314]

To nie są wyniki, to są pewniki, z których musisz skorzystać, żeby wyliczyć szukane cztery pierwiastki

[patlas]

A moglabyś pokazać mi jak dalej z tego obliczyć przynajmniej dwa z czterech pierwiastów?

[bb314]

\(\displaystyle{ x=-\sqrt{-4i}=-\sqrt{-1}\cdot\sqrt4\cdot\sqrt{i}=-i\cdot2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot(1+i)=\sqrt2\cdot(-i)\cdot(1+i)=\sqrt2(-i-i^2)=\sqrt2(1-i)}\)

z resztą już powinieneś sobie poradzić


z tym, że teraz rozwiązujemy równanie inne niż wyjściowe, bez \(\displaystyle{ 4}\) przy \(\displaystyle{ x^4}\)

[patlas]

Super, dziękuje
W końcu zaczynam rozumieć tą część algebry

[Qń]

\(\displaystyle{ x=-\sqrt{-4i}\ \vee\ x=\sqrt{-4i}\ \vee\ x=-\sqrt{-2i}\ \vee\ x=\sqrt{-2i}}\)
\(\displaystyle{ \color{magenta}\sqrt{-1}=i\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sqrt{i}=\frac{\sqrt2}{2}(1+i)}\)

Ale to przecież błędny zapis w pierwszej linijce i zwykła nieprawda w drugiej linijce.

Pierwiastek z liczby zespolonej to nie liczba, tylko zbiór liczb.

Q.

[patlas]

Czyli jak w końcu ma być żeby było poprawnie?

[bb314]

... i zwykła nieprawda w drugiej linijce.

To, że z liczby zespolonej są zawsze dwa pierwiastki drugiego stopnia, nie oznacza, że
\(\displaystyle{ \sqrt{-1}=i}\)
nie jest prawdą.
A do rozwiązania przedmiotowego zadania wystarczy podstawić tylko tę jedną wartość pierwiastka drugiego stopnia w miejsce \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\)

[Qń]

To, że z liczby zespolonej są zawsze dwa pierwiastki drugiego stopnia, nie oznacza, że
\(\displaystyle{ \sqrt{-1}=i}\)
nie jest prawdą.

Owszem, oznacza.

Bo wynikanie:
\(\displaystyle{ x^2=-1 \Rightarrow x=i}\)
jest fałszywe. A jeśli już upieramy się przy stosowaniu napisu \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) (ja uważam, że lepiej go unikać), to należy przez ten napis rozumieć zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^2=-1}\), a nie żadną konkretną liczbę.

Q.

[bb314]

Bo wynikanie:
\(\displaystyle{ x^2=-1 \Rightarrow x=i}\)
jest fałszywe.

Q.

Nigdzie nie użyłam takiego wynikania

[Qń]

Nigdzie nie użyłam takiego wynikania

Użyłaś - stwierdziłaś bowiem, że jeśli liczba jest pierwiastkiem drugiego stopnia z \(\displaystyle{ -1}\), to jest równa \(\displaystyle{ i}\).

Q.