Wyjaśnienie równości

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

Wyjaśnienie równości

Post autor: kristoffwp »

Pytanie z gatunku "Co było pierwsze: jajo czy kura?".

Czy mogę uzasadniając równość \(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x +i\sin x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) powołać się na rozwinięcia tych funkcji w szereg Taylora?
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Wyjaśnienie równości

Post autor: Adifek »

Nie bardzo. To już lepiej korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych:

\(\displaystyle{ \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

Wyjaśnienie równości

Post autor: kristoffwp »

Spodziewałem się takiej odpowiedzi. Czy jednak fakt, że \(\displaystyle{ (e^z)'=e^z}\) uznajemy za niezależny od tych definicji? To samo dotyczy pochodnych sinusa i cosinusa zmiennej rzeczywistej. Bo jeśli tak, to ja mam rację.
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Wyjaśnienie równości

Post autor: Adifek »

W czym masz rację? Zazwyczaj na kursie funkcji analitycznych najpierw ma się definicje, a potem wyprowadza wzór na pochodne. Zauważ, że jesteśmy w liczbach zespolonych, tutaj oprócz istnienia pochodnej w punkcie, do szeregu Taylora jest nam potrzebna holomorficzność, czyli bardzo mocna własność. Tak więc do Taylora potrzebny jest kawał analizy, no a definicja jest definicją... Oczywiście można sobie przyjąć szereg za definicje i wtedy też będzie ok. Wszystko zależy na czym stoisz...
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wyjaśnienie równości

Post autor: norwimaj »

kristoffwp pisze: Czy mogę uzasadniając równość \(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x +i\sin x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) powołać się na rozwinięcia tych funkcji w szereg Taylora?
Komu tę równość będziesz uzasadniał i z jakiej okazji?
ODPOWIEDZ