Pytanie z gatunku "Co było pierwsze: jajo czy kura?".
Czy mogę uzasadniając równość \(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x +i\sin x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) powołać się na rozwinięcia tych funkcji w szereg Taylora?
Wyjaśnienie równości
- kristoffwp
- Użytkownik
- Posty: 688
- Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko - Biała
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 88 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Wyjaśnienie równości
Nie bardzo. To już lepiej korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych:
\(\displaystyle{ \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)
\(\displaystyle{ \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)
- kristoffwp
- Użytkownik
- Posty: 688
- Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko - Biała
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 88 razy
Wyjaśnienie równości
Spodziewałem się takiej odpowiedzi. Czy jednak fakt, że \(\displaystyle{ (e^z)'=e^z}\) uznajemy za niezależny od tych definicji? To samo dotyczy pochodnych sinusa i cosinusa zmiennej rzeczywistej. Bo jeśli tak, to ja mam rację.
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Wyjaśnienie równości
W czym masz rację? Zazwyczaj na kursie funkcji analitycznych najpierw ma się definicje, a potem wyprowadza wzór na pochodne. Zauważ, że jesteśmy w liczbach zespolonych, tutaj oprócz istnienia pochodnej w punkcie, do szeregu Taylora jest nam potrzebna holomorficzność, czyli bardzo mocna własność. Tak więc do Taylora potrzebny jest kawał analizy, no a definicja jest definicją... Oczywiście można sobie przyjąć szereg za definicje i wtedy też będzie ok. Wszystko zależy na czym stoisz...
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wyjaśnienie równości
Komu tę równość będziesz uzasadniał i z jakiej okazji?kristoffwp pisze: Czy mogę uzasadniając równość \(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x +i\sin x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) powołać się na rozwinięcia tych funkcji w szereg Taylora?