Zilustruj zbiór na płaszczyźnie zespolonej

Marcin_92 · Post autor: **Marcin_92** » 17 wrz 2012, o 23:21

Proszę o wskazówki.
Zilustruj następujący zbiór na płaszczyźnie zespolonej: \(\displaystyle{ \left\{ z \in \CC : \left| \frac{4i-3}{3i-z} \right| \ge 5 \right\}}\)

lightinside · Post autor: **lightinside** » 17 wrz 2012, o 23:26

Najpierw pomnóż licznik i mianownik przez sprzezenie mianownika;) a potem liczysz moduł

Marcin_92 · Post autor: **Marcin_92** » 17 wrz 2012, o 23:47

\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ \frac{4i-3}{3i-z}=\frac{3-4i}{z-3i}=\frac{3-4i}{x+iy-3i}=\frac{3-4i}{x+i(y-3)} \cdot \frac{x-i(y-3)}{x-i(y-3)}}\)

Czy o to chodziło?

Phobos71 · Post autor: **Phobos71** » 18 wrz 2012, o 11:12

\(\displaystyle{ \frac{4i-3}{3i-z} \cdot \frac{3i+z}{3i+z}=...}\)

Nesquik · Post autor: **Nesquik** » 18 wrz 2012, o 11:26

\(\displaystyle{ \left| 4i-3\right| \ge 5\left| 3i-z\right|}\)
moduł po lewej to \(\displaystyle{ 5}\) wiec
\(\displaystyle{ 1 \ge \left| 3i-z\right|}\)
a to jest odległość \(\displaystyle{ z}\) od środka układu o \(\displaystyle{ 3i}\),a ta odległość ma być \(\displaystyle{ \le 1}\),
może tak być?

Phobos71 · Post autor: **Phobos71** » 18 wrz 2012, o 11:57

Nesquik pisze:\(\displaystyle{ \left| 4i-3\right| \ge 5\left| 3i-z\right|}\)
moduł po lewej to \(\displaystyle{ 5}\) wiec
\(\displaystyle{ 1 \ge \left| 3i-z\right|}\)
a to jest odległość \(\displaystyle{ z}\) od środka układu o \(\displaystyle{ 3i}\),a ta odległość ma być \(\displaystyle{ \le 1}\),
może tak być?

Może, ja bym jeszcze zrobił podstawienie \(\displaystyle{ z=x+iy}\), wtedy będzie ładnie widać co naszkicować.
\(\displaystyle{ 1 \ge \left| 3i-x-iy\right| \\
1 \ge \sqrt{(-x) ^{2} + (3-y) ^{2} } / ^{2} \\
1 \ge x^2 + (y-3) ^{2} \\}\)

Czyli rozwiązanie to koło o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,3)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\).

Marcin_92 · Post autor: **Marcin_92** » 18 wrz 2012, o 12:09

Wielkie dzięki za pomoc. Jeszcze w ramach doprecyzowania to ostateczną odpowiedzią jest koło o środku w punkcie (0,3) i promieniu 1 z wyłączeniem środka koła ?

Phobos71 · Post autor: **Phobos71** » 18 wrz 2012, o 12:15

W zadaniu jest nierówność (słaba), więc rozwiązaniem jest koło o promiuniu 1, o środku w punkcie (0,3). Koło, czyli okrąg razem ze środkiem.
Gdyby była w zadaniu równość, wtedy rozwiązaniem był by sam okrąg.

Marcin_92 · Post autor: **Marcin_92** » 18 wrz 2012, o 12:17

Ale \(\displaystyle{ z \neq 3i}\)

Phobos71 · Post autor: **Phobos71** » 18 wrz 2012, o 12:32

Racja uwzględniając dziedzinę, będzie to koło z "wyciętym" wektorem \(\displaystyle{ z=0+3i}\) (kolor czerwony)

Post autor: **Dasio11** » 19 wrz 2012, o 08:00

Z koła nie da się wyciąć wektora, bo wektor nie należy do ani nie zawiera się w kole.
Rozwiązaniem jest koło bez środka, chyba że są jakieś powody, dla których jeszcze jakiś punkt koła nie spełnia nierówności.