Narysuj płaszczyznę

[Nesquik]

\(\displaystyle{ z \in C : Re [z(z + i) (z -i)^{-1}] > 0}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ z=x+iy\\
\left[z(z + i) (z -i)^{-1}\right] =(x+iy)\frac{x+i(y+1)}{x+i(y-1)}=(x+iy)\frac{[x+i(y+1)][x-i(y-1)]}{x^2+(y-1)^2}=\\=(x+iy)\frac{x^2+y^2-1+2ix}{x^2+(y-1)^2}\\\\
Re\left[z(z + i) (z -i)^{-1}\right]=\frac{x^3+xy^2-x-2xy}{x^2+(y-1)^2}>0\\\\
x^3+xy^2-x-2xy=x(x^2+y^2-1-2y)=x[(x-y)^2-1]>0\\\\
\begin{cases}x>0\\(x-y)^2-1>0\end{cases}\,\vee\,\begin{cases}x<0\\(x-y)^2-1<0\end{cases}\\\\
\begin{cases}x>0\\|x-y|>1\end{cases}\,\vee\,\begin{cases}x<0\\|x-y|<1\end{cases}\\\\
\begin{cases}x>0\\y\le x\\x-y>1\end{cases}\,\vee\,\begin{cases}x>0\\y>x\\y-x>1\end{cases}\,\vee\,\begin{cases}x<0\\y\le x\\x-y<1\end{cases}\,\vee\,\begin{cases}x<0\\y>x\\y-x<1\end{cases}\\\\
\begin{cases}x>0\\y<x-1\end{cases}\,\vee\,\begin{cases}x>0\\y>x+1\end{cases}\,\vee\,\begin{cases}x<0\\x+1>y>x-1\end{cases}}\)

[Nesquik]

dzięki wielkie;)-- 14 wrz 2012, o 17:25 --a jak poradzić sobie z takimi przykladami:
\(\displaystyle{ arg\left( \frac{z-i}{z+i} \right) = \frac{ \pi }{2}}\) <-- wiem ze trzeba skorzystac ze wzoru na dzielenie argumentów,ze jest to ich odejmowanie,ale co dalej?

\(\displaystyle{ arg\left( \frac{i}{i-z} \right) = \frac{4}{3} \pi}\) natomiast tu mam pytanie czy koszystając dwa razy ze wzorów :raz na dzielenie argumentow,potem na zamianę \(\displaystyle{ arg(i-z) na arg(z-i)}\) musze dwa razy dodac \(\displaystyle{ 2k \pi}\)czy wystarczy raz?

[octahedron]

\(\displaystyle{ \arg\left( \frac{z-i}{z+i} \right) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \begin{cases} Re\left( \frac{z-i}{z+i} \right)=0\\Im\left( \frac{z-i}{z+i} \right)>0\end{cases}\\
\frac{z-i}{z+i}=\frac{x+iy-i}{x+iy+i}=\frac{x+i(y-1)}{x+i(y+1)}=\frac{[x+i(y-1)][x-i(y+1)]}{x^2+(y+1)^2}=\\=\frac{x^2+y^2-1}{x^2+(y+1)^2}-\frac{2x}{x^2+(y+1)^2}i\\
\begin{cases}x^2+y^2=1\\x<0\end{cases}}\)

Można też skorzystać z tego, że wektory \(\displaystyle{ z-i}\) i \(\displaystyle{ z+i}\) są prostopadłe, więc \(\displaystyle{ z}\) leży na okręgu o średnicy wyznaczonej przez punkty \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\)

\(\displaystyle{ 2k\pi}\) oznacza dowolną wielokrotność \(\displaystyle{ 2\pi}\), więc dodawanie tego drugi raz nie ma sensu.

[Nesquik]

\(\displaystyle{ \arg\left( \frac{z-i}{z+i} \right) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \begin{cases} Re\left( \frac{z-i}{z+i} \right)=0\\Im\left( \frac{z-i}{z+i} \right)>0\end{cases}\\}\)

Z czego to wynika ze część rzeczywista ma być równa 0,a urojona większa od 0?

[octahedron]

\(\displaystyle{ \arg(z)=\frac{\pi}{2} \Rightarrow z=r\left( \cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=ri \Rightarrow \begin{cases}Re z=0 \\ Im z=r>0 \end{cases}}\)

albo można sobie narysować taką liczbę na płaszczyźnie zespolonej.

[Nesquik]

Mam jeszcze taki przykład
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} \le arg(iz) \le \pi}\) gdzie \(\displaystyle{ \left| z\right|=1}\)
prosze o sprawdzenie czy wyszło mi dobre rozwiązanie:

\(\displaystyle{ 0 \le arg z \le \frac{ \pi }{2}}\) nie korzystałam tu z tego że moduł jest jeden, i nie bardzo wiem co powinna z tym warunkiem zrobic, zeby było dobrze.

[octahedron]

\(\displaystyle{ |z|=1}\) to okrąg o środku \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\), uwzględniając kąt, jest to jego pierwsza ćwiartka.

[Nesquik]

To już ostatnie dwa przykłady które nie bardzo umiem ruszyć:
\(\displaystyle{ Im (z)^2 \ge Re (\overline z )^2}\) gdzie \(\displaystyle{ z \neg}\) to sprzężenie

\(\displaystyle{ Im\frac{(1+i)z}{(1-i)\overline z }\ge 0}\)

[Chromosom]

Dlaczego oznaczasz sprzężenie za pomocą symbolu negacji? Czy jest to jakaś nowa tendencja? Poprawiam powyższy zapis; ewentualnie proszę podać odnośnik do najnowszych wytycznych co do notacji matematycznej.

Proszę zapisać: \(\displaystyle{ z=a+b\,\text i}\) oraz \(\displaystyle{ \overline z=a-b\,\text i}\) i na tej podstawie spróbować coś wywnioskować.

[octahedron]

\(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}\\\\
Im (z)^2 \ge Re (\overline z )^2\\
Im (re^{i\varphi})^2 \ge Re (re^{-i\varphi})^2\\
Im (r^2e^{2i\varphi})\ge Re (r^2e^{-2i\varphi})\\
r^2\sin 2\varphi\ge r^2\cos(-2\varphi)\\
\sin 2\varphi\ge \cos 2\varphi\\
2\varphi\in\left[ \frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right]\\
\varphi\in\left[ \frac{\pi}{8}+k\pi,\frac{5\pi}{8}+k\pi\right]=\left[ \frac{\pi}{8},\frac{5\pi}{8}\right]\cup\left[ \frac{9\pi}{8},\frac{13\pi}{8}\right]\\\\\\
Im\left( \frac{(1+i)z}{(1-i)\overline z }\right) \ge 0\\
Im\left( \frac{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\cdot re^{i\varphi}}{\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\cdot re^{-i\varphi}}\right) \ge 0\\
Im\left( e^{2i\left( \varphi+\frac{\pi}{4}\right) }\right)\ge 0\\
\sin 2\left( \varphi+\frac{\pi}{4}\right)\ge 0\\
2\left( \varphi+\frac{\pi}{4}\right)\in [2k\pi,\pi+2k\pi]\\
\varphi\in\left[-\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}+k\pi\right]=\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right]}\)