rozwiązać równanie w liczbach zespolonych

[stuuudent123]

Witam serdecznie,
Mam problem z 2 zadankami o treści
rozwiązać równanie w liczbach zespolonych
a)

\(\displaystyle{ e^{2z}+e^{z}+1=0}\)

b)

\(\displaystyle{ ln^2z-lnz+1=0}\)

bardzo prosił bym o pomoc, wskazówkę jak to rozwiązać.
Z góry bardzo dziękuję

[Mortify]

\(\displaystyle{ t=e^z}\)
\(\displaystyle{ u=\ln z}\)

[stuuudent123]

no dobra to na to też wpadłem, wtedy wychodzi że,

a)

\(\displaystyle{ u^{2}+u+1=0}\)

obliczamy delte i wychodzi nam że,
\(\displaystyle{ u _{1}= \frac{-1- \sqrt{3}i }{2}}\)
\(\displaystyle{ u _{2}= \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2}}\)

\(\displaystyle{ e _{1} ^{z} = \frac{-1- \sqrt{3}i }{2}}\)

\(\displaystyle{ e _{2}^{z}= \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2}}\)

i co dalej?

b)

\(\displaystyle{ t^{2}-t+1=0}\)

obliczamy delte i wychodzi nam że,
\(\displaystyle{ t _{1}= \frac{1- \sqrt{3}i }{2}}\)
\(\displaystyle{ t _{2}= \frac{1+ \sqrt{3}i }{2}}\)

\(\displaystyle{ ln _{1}z= \frac{1- \sqrt{3}i }{2}}\)

\(\displaystyle{ ln _{2}z= \frac{1+ \sqrt{3}i }{2}}\)

i też nie wiem co dalej

[bb314]

a)
\(\displaystyle{ e ^{z_1} = \frac{-1- \sqrt{3}i }{2}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i=cos\left(\frac43\pi+2k\pi\right)+i\cdot sin\left(\frac43\pi+2k\pi\right)=e^{i\left(\frac43\pi+2k\pi\right)}\ \ \ \ \ \to\ \ \ \ \ z_1=\left(\frac43\pi+2k\pi\right)i}\)



b)
\(\displaystyle{ lnz_1= \frac{1- \sqrt{3}i }{2}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\ \ \ \ \to\ \ \ \ z_1=e^{\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)}=e^{\frac12}\cdot e^{-\frac{\sqrt3}{2}i}=e^{\frac12}\left(cos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+i\cdot sin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\right)=e^{\frac12}\left(cos\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)-i\cdot sin\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)\right)}\)

[stuuudent123]

mam pytanie skąd to się wzięło???

a)
\(\displaystyle{ -\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i=cos\left(\frac43\pi+2k\pi\right)+i\cdot sin\left(\frac43\pi+2k\pi\right)=}\)

-- 13 wrz 2012, o 17:34 --a czy może to być w ten sposób rozwiązane, że:

\(\displaystyle{ e ^{z}_{1}=- \frac{1}{2}-i \sqrt{ \frac{3}{2} } \Rightarrow
z=Log\left[-\frac{1}{2}-i { \frac{\sqrt3}{2} \right] \Rightarrow z=ln1+ \frac{7}{6}i\pi+2ik\pi}\)

\(\displaystyle{ e ^{z}_{2}=- \frac{1}{2}+i \sqrt{ \frac{3}{2} } \Rightarrow
z=Log\left[-\frac{1}{2}+i { \frac{\sqrt3}{2} \right] \Rightarrow z=ln1+ \frac{4}{6}i\pi+2ik\pi}\)

korzystałem ze wzoru \(\displaystyle{ Logz=ln\left| z\right|+iargz+2ik\pi}\)

[bb314]

mam pytanie skąd to się wzięło???

stąd, że
\(\displaystyle{ -\frac12=cos\left(\frac43\pi+2k\pi\right)}\)
\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt3}{2}=sin\left(\frac43\pi+2k\pi\right)}\)

-- 13 wrz 2012, o 17:34 --

a czy może to być w ten sposób rozwiązane, że:

może być, tylko nie taki wyszedł Ci argument

[stuuudent123]

racja, pomyliłem się powinno wyjść w argumencie \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\)

dziękuję za pomoc