zespolone do potęgi

[asdertx]

\(\displaystyle{ \left( \frac{(1- \sqrt{3})+(1+\sqrt{3})i}{2+2i}\right) ^{60}}\) mianownik można przekuć na postać trygonometryczną \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}\left( \cos \frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}i \right)}\)a co z licznikiem zrobić to nie wiem. jak to rozwiązać?

[Qń]

Jeśli się zna dobrze wartości funkcji trygonometrycznych dla nietypowych kątów, to można skorzystać z tego, że argumentem licznika jest \(\displaystyle{ \frac{7}{12}\pi}\).

A jeśli się nie zna, to można zacząć od wykonania działania:
\(\displaystyle{ \left( (1- \sqrt{3})+(1+\sqrt{3})i\right) ^{2}}\)
i kąt już będzie "typowy".

[asdertx]

\(\displaystyle{ \left( \left( \frac{(1- \sqrt{3})+(1+\sqrt{3})i}{2+2i}\right)^{2}\right) ^{30}=\left( \frac{-4\left( \sqrt{3}+i \right) }{8i} \cdot \frac{i}{i} \right)^{30}=\left( \frac{ \sqrt{3}i+1 }{2} \right)^{30}=\left( \left( \cos \frac{\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{3}i \right)^{2}\right) ^{15}=\left( 1+\sin\frac{2\pi}{3}i\right)^{15}}\)
co jeszcze da się zrobić?

[Qń]

\(\displaystyle{ \left( \cos \frac{\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{3}i \right)^{30}}\)
Użyj wzoru d'Moivre'a.

Q.