Liczba zespolona w postaci wykładniczej i obliczenie z5

[fiszuu]

Witam. Mam problem z obliczeniem tego działania. Proszę o pomoc jeśli to możliwe..

\(\displaystyle{ z=- \sqrt{3} + j}\)

Ma to być postać wykładnicza i jeszcze mam obliczyć \(\displaystyle{ z ^{5}}\) ;/

[TPB]

Co to jest z5? \(\displaystyle{ z^{5}}\)?

[Chromosom]

Popraw zapis pierwiastka.

[TPB]

Wyznacz najpierw moduł i argument główny liczby \(\displaystyle{ z}\).

[fiszuu]

Czyli to będzie coś takiego?

\(\displaystyle{ z= \sqrt{3+1} = \sqrt{2} = 2}\)

\(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{x}{|z|} = \frac{ -\sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \varphi = \frac{y}{|z|} = \frac{1}{2}}\)

Nie widzę znaczka "fi", nie wiem czemu.. I teraz dalej powinienem obliczyć kąt ?
Już widzisz

Liczby mam w drugiej połówce układu współrzędnych czyli kąt 90 stopni ? Dobrze myślę ?

-- 12 wrz 2012, o 14:51 --

Pomoże ktoś?

[TPB]

Czyli to będzie coś takiego?

\(\displaystyle{ z= \sqrt{3+1} = \sqrt{2} = 2}\)

Moduł ok, nie licząc literówki
Co do wyznaczenia kąta to skucha. Kąt \(\displaystyle{ \phi}\) musi spełniać zależności:
\(\displaystyle{ \cos\phi=- \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\phi= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ phi in [0,2 pi )}\) lub (w zależności od definicji argumentu głównego jakiego używasz): \(\displaystyle{ \phi \in (- \pi , \pi ]}\)
A kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) tych warunków nie spełnia.

[fiszuu]

No dobra a jak wyznaczyć to \(\displaystyle{ z ^{5}}\) ? Czy jak kąt nie spełnia warunków to nie idzie wyliczyć ?

[TPB]

Źle policzyłeś kąt, co do potęgowania liczb zespolonych w postaci wykładniczej, to wzór jest taki:
\(\displaystyle{ z=\left| z\right|e^{i\phi} \Rightarrow z^{n}=\left| z\right|^{n}e^{ni\phi}}\)-- 12 wrz 2012, o 15:28 --Spróbuj wyliczyć ten argument.
Dla jakiego argumentu z przedziału \(\displaystyle{ [0,2 pi )}\) sinus jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)?

[fiszuu]

Nie mogę dojść do rozwiązania.. mógłbyś mi to rozwiązać a ja bym sobie to przeanalizował i wtedy będzie mi łatwiej to zrozumieć.. dzięki z góry.. ;/

[TPB]

Zrobimy tak, ja wymyślę sobie przykład, rozwiąże go, a Ty analogicznie zrobisz swoje.
Niech \(\displaystyle{ z= \frac{ \sqrt{3} }2{}- \frac{1}{2}i}\). Szukamy \(\displaystyle{ z^{3}}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{( \frac{ \sqrt{3} }{2} )^{2}+( \frac{1}{2} )^{2}} = \sqrt{ \frac{3}{4} + \frac{1}{4} } = 1}\).
Zaznaczam sobie punkt \(\displaystyle{ z}\) na płaszczyźnie. Leży on w czwartej ćwiartce, a więc kąt \(\displaystyle{ \phi}\) leży w \(\displaystyle{ \left( \frac{3 \pi }{2}, 2 \pi \right)}\).
Ten kat spełnia związki:
\(\displaystyle{ \cos\phi= \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }{1}= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\phi= \frac{ -\frac{1}{2} }{1} = - \frac{1}{2}}\)
Narysuj sobie wykres funkcji cosinus. I odczytaj, że \(\displaystyle{ \phi= \frac{11 \pi }{6}}\), bo ten kat lezy w czwartej ćwiartce, jak napisałem wcześniej. W takim razie:
\(\displaystyle{ z=1 \cdot e^{ \frac{11 \pi i}{6} }}\).
Stąd
\(\displaystyle{ z^{3}=1^{3} \cdot e^{3 \cdot \frac{11 \pi i}{6} } = e^{ \frac{11 \pi i}{2} } = e^{ \frac{ \pi i}{2} } = cos \frac{ \pi }{2}+isin \frac{ \pi }{2} = i}\)