Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

[Feliks1990]

Witam, na wstępie chciałbym zaznaczyć że nie jestem pewien czy dobry dział, jednak funkcja jest w D liczb zespolonych, więc ten wydał mi się najodpowiedniejszy..

Oto zadanie:
Sprawdzić czy funkcja opisana równaniem \(\displaystyle{ f(z) = z- \overline{z} + \frac{ z^{2}-\overline{z} ^{2} }{2i }}\) jest funkcją holomorficzną na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)?

Za pomoc w rozwiązaniu będę bardzo wdzięczny!

Pozdrawiam!

[ares41]

Podstawienie \(\displaystyle{ z=x+yi}\)

Następnie zapisz funkcję \(\displaystyle{ f(x+yi)}\) jako \(\displaystyle{ u(x,y)+iv(x,y)}\) i sprawdź równania Cauchy'ego - Riemanna oraz ciągłość odpowiednich pochodnych.

[Feliks1990]

Ares41, wiem oczywiście jak to sie robi. Chodzi mi o to, aby ktoś ogarnięty to sprawdził, bo policzyłem to dziś na egzaminie i wyszło mi że nie jest (część urojona się skraca, V(x,y)=0, warunek Cauchego niespełniony), rozwiązały to także 3 inne osoby tak samo, a wynik egzaminu okazał się NZ. Dlatego zależy mi na tym, aby ktoś obcykany w temacie podał mi rozwiązanie żebym się upewnił. z góry dzięki!

pozdrawiam

[ares41]

Przy standardowych oznaczeniach wychodzi \(\displaystyle{ u(x,y)=2xy, \ v(x,y)=2y}\)

I dalej mamy \(\displaystyle{ \frac{ \partial v}{ \partial x} = 0 \neq -2x =-\frac{ \partial u}{ \partial y}}\)

[sebnorth]

\(\displaystyle{ z - \overline{z} = 2i\Im(z)}\)

\(\displaystyle{ \frac{z^2 - \overline{z}^2}{2i} = 2\cdot \Re(z) \cdot Im(z)}\)

\(\displaystyle{ f(z) = f(x,y) = \underbrace{2xy}_{u(x,y)} + \underbrace{ 2y }_{v(x,y)} \cdot i}\)


\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}}\) - sprawdź jedno z równań Cauchy'ego-Riemanna

[ares41]

sebnorth,
\(\displaystyle{ z - \overline{z} = 2i\Im(z)}\)

natomiast

\(\displaystyle{ \frac{z^2 - \overline{z}^2}{2i} = 2\cdot \Re(z) \cdot \Im(z)}\)

[Feliks1990]

Hmm, trochę mnie zmartwiliście. ja zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ f(x,y)=(x+yi)(x-yi)+ \frac{ (x+yi)^{2} - (x-yi)^{2} }{2i} \\ \\
f(x,y) = x^{2}+ y^{2}+ \frac{ x^{2}+2xyi- y^{2}-(x^{2}-2xyi+ y^{2} ) }{2i} \\ \\
f(x,y) = x^{2}+ y^{2}+ \frac{4xyi}{2i} \\ \\
f(x,y)= x^{2}+ y^{2}+2xy}\)

Stąd mi wyszło, że:
\(\displaystyle{ U(x,y) =x^{2}+ y^{2}+2xy \\
V(x,y) = 0}\)

gdzie popełniłem błąd??

PS: W zadaniu jest \(\displaystyle{ f(z) = z \cdot \overline{z}}\)

Pozdrawiam

[ares41]

Na samym początku
\(\displaystyle{ z-\overline{z} = (x+yi)\color{red}-\black(x-yi)}\)

Edit: Jeśli jest jednak \(\displaystyle{ z\cdot\overline{z}}\) to wtedy jest ok.

[Feliks1990]

Na samym początku
\(\displaystyle{ z-\overline{z} = (x+yi)\color{red}-\black(x-yi)}\)

Ares, tutaj nie popełniłem, gdyż jak już napisałem przed chwilą, tam powinno być mnożenie Po prostu źle wklepałem zadanie

Pozdrawiam

[ares41]

Edit: Jeśli jest jednak \(\displaystyle{ z\cdot\overline{z}}\) to wtedy jest ok.

[Feliks1990]

Hmm, czyli moje rozwiązanie jest dobre? Część urojona faktycznie się skraca i zostaje tylko częśc rzeczywista? Przepraszam, że tak dopytuję, ale w czwartek zamierzam iśc na rozmowę i chcę być pewien, jeśli mam rację, tak aby wywalczyć punkty niezbędne mi do zrobienia tytułu w terminie Ważą się losy mojego życia )

Pozdrawiam

[ares41]

Nie widzę błędu w obliczeniach. Rzeczywiście, nie ma tutaj części urojonej.

Być może punkty zostały utracone na uzasadnianiu wynikających stąd wniosków, tj. fakt że funkcja nie jest holomorficzna wynika tutaj z tautologii \(\displaystyle{ (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim q \Rightarrow \sim p)}\) zastosowanej do twierdzenia o zależności różniczkowalności w sensie rzeczywistym i sensie zespolonym.

Podejrzewam jednak, że autorowi zadania wkradła się literówka i tam powinien być ten minus zamiast mnożenia - to wbrew pozorom dosyć często się zdarza

[morys767]

Hmm, trochę mnie zmartwiliście. ja zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ f(x,y)=(x+yi)(x-yi)+ \frac{ (x+yi)^{2} - (x-yi)^{2} }{2i} \\ \\
f(x,y) = x^{2}+ y^{2}+ \frac{ x^{2}+2xyi- y^{2}-(x^{2}-2xyi+ y^{2} ) }{2i} \\ \\
f(x,y) = x^{2}+ y^{2}+ \frac{4xyi}{2i} \\ \\
f(x,y)= x^{2}+ y^{2}+2xy}\)

Stąd mi wyszło, że:
\(\displaystyle{ U(x,y) =x^{2}+ y^{2}+2xy \\
V(x,y) = 0}\)

gdzie popełniłem błąd??

PS: W zadaniu jest \(\displaystyle{ f(z) = z \cdot \overline{z}}\)

Pozdrawiam

W przedostatniej równości funkcji jest błąd. Powinno wyjść:
\(\displaystyle{
f(x,y) = x^{2}+ y^{2}+ \frac{4xyi-2y^{2}}{2i} \\
f(x,y) = x^{2}+ y^{2}+ 2xy + y^{2}i \\
}\)

[Dasio11]

Nie, błąd jest w drugiej linijce a trzecia jest znów dobrze (zapewne błąd przepisywania).