\(\displaystyle{ \left| e^{it}-1 \right| \le \left| t\right|, \quad t\in \RR}\)
Znam dowód tej nierówności wynikający z innej, która jest bardziej skomplikowana, ale interesuje mnie jakiś prosty, elementarny dowód.
Dzięki i pozdrawiam,
A.
Wykazać nierówność
-
Arst
- Użytkownik
- Posty: 767
- Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: University of Warwick
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 50 razy
Wykazać nierówność
Faktycznie poszło A już myślałem, że za tym się jakaś sztuczka nietrywialna kryje
Zamieszczę tutaj dowód, gdyby ktoś kiedyś szukał:
\(\displaystyle{ \left| e^{it}-1\right| =\left| \cos t + i \sin t-1\right| =\left| (\cos t-1)+i\sin t\right| =\sqrt{(\cos t -1)^2+\sin^2 t}=\sqrt{2-2\cos t}=2\left| \sin \frac{t}{2}\right| \le 2 \left| \frac{t}{2}\right| =\left| t \right|}\)
Zamieszczę tutaj dowód, gdyby ktoś kiedyś szukał:
\(\displaystyle{ \left| e^{it}-1\right| =\left| \cos t + i \sin t-1\right| =\left| (\cos t-1)+i\sin t\right| =\sqrt{(\cos t -1)^2+\sin^2 t}=\sqrt{2-2\cos t}=2\left| \sin \frac{t}{2}\right| \le 2 \left| \frac{t}{2}\right| =\left| t \right|}\)