Nierówność zespolona

ledkubaz · Post autor: **ledkubaz** » 6 wrz 2012, o 12:58

Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiej nierówności:

\(\displaystyle{ |zi|<2Im(z+i)-Re(z)}\)

pyzol · Post autor: **pyzol** » 6 wrz 2012, o 13:06

\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
No to podstawiaj.

ledkubaz · Post autor: **ledkubaz** » 6 wrz 2012, o 13:59

\(\displaystyle{ |(x+yi)i|<2Im(x+yi+i) - Re(x+yi)\\
|xi+yi ^{2} |<2Im(x+(y+1)i) - Re(x+yi)\\
|-y+xi|<2(y+1) - x\\
\sqrt{x^{2}+(-y)^{2}}<2y -x +2}\)

nie wiem czy poprawnie, a jesli tak to nie wiem co dalej

pyzol · Post autor: **pyzol** » 6 wrz 2012, o 14:05

Pierwsza sprawa, to wyrażenie po praej stronie musi być nieujemne:
\(\displaystyle{ 2y-x+2 \ge 0}\)
I to się przyda do rysunku.
\(\displaystyle{ (-y)^2=y^2}\)
Teraz podnieś stronami do kwadratu.

ledkubaz · Post autor: **ledkubaz** » 6 wrz 2012, o 15:30

\(\displaystyle{ x \le 2y+2\\
x^{2}+y^{2}<4y^{2}+x^{2} -4xy+8y-4x+4

3y^{2} -4xy+8y-4x+4>0}\)

teraz mam rozwiązać nierówność względem niewiadomej \(\displaystyle{ y}\)?

\(\displaystyle{ 3y^{2}+(8-4x)y-4x+4>0}\)

pyzol · Post autor: **pyzol** » 6 wrz 2012, o 15:36

Tak, choć nie wiem, czy nie będzie lepiej wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\). Tak czy siak tu się schodzy zaczynają.

ledkubaz · Post autor: **ledkubaz** » 6 wrz 2012, o 15:45

Jesteś pewnien, że to trzeba w ten sposób rozwiązywać? Odpowiedzi do tego zadania są takie:
\(\displaystyle{ z=-3+i\\
z=-3i\\
z=2-3i\\
z=1-3i}\)
któraś z nich jest poprawna
delta tego wyrażenia wynosi \(\displaystyle{ 16x^{2}-16x+16}\) dalej delta prim jest mniejsza od zera

pyzol · Post autor: **pyzol** » 6 wrz 2012, o 15:58

Niech \(\displaystyle{ z=ni,\n\in N}\).
Zobaczymy, czy spełniają nierówność:
\(\displaystyle{ n< 2n+2}\)
Może czytasz złe odpowiedzi.-- 6 wrz 2012, o 16:08 --Może napisz konkretnie całe polecenie.

ledkubaz · Post autor: **ledkubaz** » 6 wrz 2012, o 16:18

Nierówność \(\displaystyle{ |zi|<2Im(z+i)-Re(z)}\) jest spełniona przez:
a) \(\displaystyle{ z=-3+i}\)
b)\(\displaystyle{ z=-3i}\)
c)\(\displaystyle{ z=2-3i}\)
d)\(\displaystyle{ z=1-3i}\)

pyzol · Post autor: **pyzol** » 6 wrz 2012, o 16:25

To jest test wyboru, więc nie masz konieczności rozwiązania tej paskudnej nierówności. Wystarczy, że podstawisz każdą z liczb i sprawdzisz, która będzie pasować i tak dla a) mamy:
\(\displaystyle{ |(-3+i)i|<2Im(-3+2i)-Re(-3+i)\\
\sqrt{10}<4+3}\)
Jest to prawda, więc spełnia. MOże podstawiać też \(\displaystyle{ x,y}\) do tej nierówności z pierwiastkiem (twój drugi post ostatnia nierówność) by może będzie szybciej.

ledkubaz · Post autor: **ledkubaz** » 6 wrz 2012, o 16:35

Sprawdziłem wszystkie i rzeczywiście pierwsza odpowiedź jest prawidłowa. Trochę jestem zawiedziony sposobem rozwiązania tego zadania ale cóż : ). Dzięki wielkie za pomoc. Pozdrawiam.

pyzol · Post autor: **pyzol** » 6 wrz 2012, o 16:52

Szczególnie, ze na kole prawdopodobnie większość osób zaczęłaby rozwiązywać tę nierówność, myśląc, że to szybko pójdzie.