Dowód własności funkcji wykładniczej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Bobo91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 gru 2011, o 14:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Dowód własności funkcji wykładniczej

Post autor: Bobo91 »

Witam serdecznie!
Mam problem z udowodnieniem własności
\(\displaystyle{ e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}e^{z_{2}}}\)

Bardzo proszę o pomoc!
miodzio1988

Dowód własności funkcji wykładniczej

Post autor: miodzio1988 »

Z definicji ile wynosi cudo po lewej/ ? Po prawej?
Bobo91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 gru 2011, o 14:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Dowód własności funkcji wykładniczej

Post autor: Bobo91 »

Domyślam się, że trzeba przejść z lewej strony w prawą przez postać trygonometryczną,
ale za bardzo nie mam pomysłu na przekształcenia.
miodzio1988

Dowód własności funkcji wykładniczej

Post autor: miodzio1988 »

Pokaż jak z definicji wygląda lewa strona to zobaczymy co się z tym da zrobić
Bobo91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 gru 2011, o 14:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Dowód własności funkcji wykładniczej

Post autor: Bobo91 »

\(\displaystyle{ e^{z_{1}+z_{2}}=e^{x_{1}+x_{2}+i(y_{1}+y_{2})} = e^{x_{1}+x_{2}}(\cos (y_{1}+y_{2}) + i\sin (y_{1}+y_{2}))}\)

Nie wygląda to zbyt ponętnie. Próbowałem skorzystać z poniższego wzoru, ale nie jestem przekonany co do słuszności tej drogi.

\(\displaystyle{ e^{z}= e^{x}(\cos y + i\sin y)}\)
miodzio1988

Dowód własności funkcji wykładniczej

Post autor: miodzio1988 »

Ok. Tylko ten nawias z funkcjami trygonometrycznymi nas interesuje teraz.

wzór na funkcje, gdy masz sumy kątów znasz. Zastosuj. Zobaczymy co wyjdzie
Bobo91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 gru 2011, o 14:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Dowód własności funkcji wykładniczej

Post autor: Bobo91 »

\(\displaystyle{ e^{x_{1}+x_{2}}(\cos y_{1} \cos y_{2} - \sin y_{1} \sin y_{2} + i \sin y_{1} \cos y_{2} + i \sin y_{2} \cos y_{1})}\)

Próbowałem pogrupować, ale nie doszedłem do niczego ciekawego.
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2012, o 19:53 przez Bobo91, łącznie zmieniany 1 raz.
miodzio1988

Dowód własności funkcji wykładniczej

Post autor: miodzio1988 »

Same plusy? A nie inaczej te wzory wyglądały?
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Dowód własności funkcji wykładniczej

Post autor: Spektralny »

Zależy co rozumienie przez definicję funkcji wykładniczej. Zwykle definiuje się ją przez szereg potęgowy; wydaje się to łatwiejsze (o ile zna się iloczyn Cauchy'ego szeregów) niż pętlenie się ze wzorem Eulera, który jest wnioskiem zeń.
Bobo91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 gru 2011, o 14:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Dowód własności funkcji wykładniczej

Post autor: Bobo91 »

Tak, powinien być jeden minus, poprawiłem. Iloczyn Cauchy'ego oczywiście znany, ale chyba i tak nie umiałbym go wykorzystać. Hmmm liczyłem, że jednak pójdzie łatwiej, w końcu było na zbóju. No nic pozostało mi chyba liczyć, że tego tym razem nie będzie :D
ODPOWIEDZ