Dowód własności funkcji wykładniczej
Dowód własności funkcji wykładniczej
Witam serdecznie!
Mam problem z udowodnieniem własności
\(\displaystyle{ e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}e^{z_{2}}}\)
Bardzo proszę o pomoc!
Mam problem z udowodnieniem własności
\(\displaystyle{ e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}e^{z_{2}}}\)
Bardzo proszę o pomoc!
Dowód własności funkcji wykładniczej
Domyślam się, że trzeba przejść z lewej strony w prawą przez postać trygonometryczną,
ale za bardzo nie mam pomysłu na przekształcenia.
ale za bardzo nie mam pomysłu na przekształcenia.
Dowód własności funkcji wykładniczej
Pokaż jak z definicji wygląda lewa strona to zobaczymy co się z tym da zrobić
Dowód własności funkcji wykładniczej
\(\displaystyle{ e^{z_{1}+z_{2}}=e^{x_{1}+x_{2}+i(y_{1}+y_{2})} = e^{x_{1}+x_{2}}(\cos (y_{1}+y_{2}) + i\sin (y_{1}+y_{2}))}\)
Nie wygląda to zbyt ponętnie. Próbowałem skorzystać z poniższego wzoru, ale nie jestem przekonany co do słuszności tej drogi.
\(\displaystyle{ e^{z}= e^{x}(\cos y + i\sin y)}\)
Nie wygląda to zbyt ponętnie. Próbowałem skorzystać z poniższego wzoru, ale nie jestem przekonany co do słuszności tej drogi.
\(\displaystyle{ e^{z}= e^{x}(\cos y + i\sin y)}\)
Dowód własności funkcji wykładniczej
Ok. Tylko ten nawias z funkcjami trygonometrycznymi nas interesuje teraz.
wzór na funkcje, gdy masz sumy kątów znasz. Zastosuj. Zobaczymy co wyjdzie
wzór na funkcje, gdy masz sumy kątów znasz. Zastosuj. Zobaczymy co wyjdzie
Dowód własności funkcji wykładniczej
\(\displaystyle{ e^{x_{1}+x_{2}}(\cos y_{1} \cos y_{2} - \sin y_{1} \sin y_{2} + i \sin y_{1} \cos y_{2} + i \sin y_{2} \cos y_{1})}\)
Próbowałem pogrupować, ale nie doszedłem do niczego ciekawego.
Próbowałem pogrupować, ale nie doszedłem do niczego ciekawego.
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2012, o 19:53 przez Bobo91, łącznie zmieniany 1 raz.
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Dowód własności funkcji wykładniczej
Zależy co rozumienie przez definicję funkcji wykładniczej. Zwykle definiuje się ją przez szereg potęgowy; wydaje się to łatwiejsze (o ile zna się iloczyn Cauchy'ego szeregów) niż pętlenie się ze wzorem Eulera, który jest wnioskiem zeń.
Dowód własności funkcji wykładniczej
Tak, powinien być jeden minus, poprawiłem. Iloczyn Cauchy'ego oczywiście znany, ale chyba i tak nie umiałbym go wykorzystać. Hmmm liczyłem, że jednak pójdzie łatwiej, w końcu było na zbóju. No nic pozostało mi chyba liczyć, że tego tym razem nie będzie