Wyznaczyć pierwiastki wielomianu

[przemulala]

Witam!


Mam wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu: \(\displaystyle{ p(z)=( z^{2}+2z+5)^{2}( z^{2}+i)}\).

Z członu po lewej otrzymuję: \(\displaystyle{ -1-2i}\) oraz \(\displaystyle{ -1+2i}\).
Z członu po prawej zaś: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} (1+i)}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ -\sqrt{2} }{2} (1+i)}\)

Wracając do członu lewego - podane pierwiastki będą pierwiastkami podwójnymi (ze względu na podniesienie całego nawiasu do kwadratu stopień wielomianu będzie cztery -> otrzymamy cztery pierwiastki).

Zastanawiam się więc, czy odpowiedź będzie postaci \(\displaystyle{ x-a, (x-a)^{2}}\) (gdzie a oznacza liczbę zespoloną)?

[lightinside]

Nie bardzo...

raczej \(\displaystyle{ x=a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą zespoloną

[przemulala]

Czyli jak ostatecznie powinienem podać, że są to pierwiastki podwójne?

\(\displaystyle{ x=a, x=a^{2}}\)

[pyzol]

A skąd Ci takie skomplikowane pierwiastki w członie po prawej wyszły?-- 4 wrz 2012, o 20:03 --Z lewej też mi nie pasują

[przemulala]

Z lewej to możesz chociażby sprawdzić na Wolframalpha, że się zgadzają...

Z prawej obliczałem podstawiając \(\displaystyle{ z=a+bi}\) i rozwiązując równanie - tak jak to się zwyczajowo robi dla pierwiastka stopnia drugiego. Powinny być dobre.

Ale moje pytanie nie dotyczy poprawności wyznaczenia pierwiastków, to jest sprawa drugorzędna - CHCIAŁBYM SIĘ DOWIEDZIEĆ, O CO CHODZI Z TYMI PIERWIASTKAMI PODWÓJNYMI. CZY W OGÓLE WYSTĘPUJĄ ORAZ JAK JE POPRAWNIE ZAPISAĆ?

[pyzol]

Przepraszam mój błąd. Źle doczytałem oba równania.
\(\displaystyle{ \left( z-\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right) \left(z+\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)=z^2-\frac{1}{2}(1-2i-1)=z^2+i}\)
Jak masz wypisać pierwiastki, to je wypisz, to wszystko, możesz wypisać ewentualnie:
"Pierwiastki podwójne:..."
"Pierwisatki pojedyncze..."
Nie zaszkodzi dobrze jest też przed tym napisać wielomian:
\(\displaystyle{ p(z)=(z+1+2i)^2(z+1-2i)^2...}\)

[przemulala]

Właśnie o to mi chodziło Dziękuję za odpowiedź!