równanie liczb zespolonych

[22mz]

a)Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ z^4+2z^3+9z^2+8z+20=0}\) w dziedzinie zespolonej, wiedząc że \(\displaystyle{ z=2i}\) jest jednym z rozwiązań.
b)Niech \(\displaystyle{ w_1=-4+3i}\) oraz \(\displaystyle{ w_5=4-3i}\) bedą przeciwległymi wierzchołkami ośmiokąta foremnego na płaszczyźnie zespolonej. Wykorzystując własności liczb zespolonych, wyznacz postać algebraiczną liczb zespolonych odpowiadających pozostałym wierzchołkom tego ośmiokąta.

[steal]

Z zasadniczego tw. algebry wynika, że równanie ma w dziedzinie zespolonej cztery pierwiastki. W postaci iloczynowej będzie to wyglądało następująco:

\(\displaystyle{ (z-2i)(z-A)(z-B)(z-C)= 0}\)
gdzie \(\displaystyle{ A,B,C}\) są nieznanymi liczbami zespolonymi

Wymnóż te nawiasy, a następnie porównaj każde wyrażenie stojące przed kolejnymi potęgami \(\displaystyle{ z}\)-ta, z odpowiadającą mu liczbą stojącą w danym w treści równaniu.

[Mariusz M]

steal, nieznane są tylko dwie liczby zespolone,
sprzężenie też jest pierwiastkiem
Co do a)

Sprzężenie podanego pierwiastka jest także pierwiastkiem
więc ze wzoru Viete na sumę i iloczyn dostajesz

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2i+2i+z_{3}+z_{4}=-2\\ \left( -2i\right)\left( 2i\right)z_{3}z_{4}=20 \end{cases}\\
\begin{cases} z_{3}+z_{4}=-2\\ 4z_{3}z_{4}=20 \end{cases}\\
\begin{cases} z_{3}+z_{4}=-2\\ z_{3}z_{4}=5 \end{cases}\\
\left( z^2+4\right)\left( z^2+2z+5\right) =0\\}\)

[steal]

steal, nieznane są tylko dwie liczby zespolone,
sprzężenie też jest pierwiastkiem

A tak, faktycznie, masz rację.