Wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną

[R1990]

Potrzebuję tego do sprawdzenia warunku Cauchego-Riemanna (całka z funkcji \(\displaystyle{ f(z)}\) jeśli jest holomorficzna na obszarze \(\displaystyle{ D}\) zamkniętym i spełnia w/w warunek, to wartość całki równa się zero).
Moja funkcja to \(\displaystyle{ \frac{ e^{z} }{2+ \pi i}}\) Mnożę to przez sprzężenie i wychodzi mi

\(\displaystyle{ \frac{ e^{z} \cdot z -e^{z} \cdot \pi i}{ z^{2} - \pi ^{2} }}\).

Czy z tej postaci da się już wyznaczyć \(\displaystyle{ \Re f(z)}\) i \(\displaystyle{ \Im f(z)}\) ?

[Adifek]

Zrób to sobie tak:

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\), \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}}\).

Wówczas \(\displaystyle{ e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos y + i \sin y)}\).

\(\displaystyle{ \frac{ e^{z} }{2+ \pi i}=\frac{ e^{x}(\cos y + i \sin y) }{2+ \pi i}=
\frac{e^{x}\cos y (2- \pi i)}{4+\pi ^{2}} + \frac{ie^{x}\sin y(2- \pi i)}{4+\pi^{2}}=\\ \\
\frac{2e^{x}\cos y }{4+\pi ^{2} } - \frac{\pi ie^{x}\cos y }{4+\pi ^{2}} +
\frac{i2e^{x}\sin y }{4+\pi ^{2} } + \frac{\pi e^{x}\sin y }{4+\pi ^{2}}= \\ \\
\left( \frac{2e^{x}\cos y }{4+\pi ^{2} } + \frac{\pi e^{x}\sin y }{4+\pi ^{2}}\right) +
i \left( \frac{2e^{x}\sin y }{4+\pi ^{2} } - \frac{\pi e^{x}\cos y }{4+\pi ^{2}}\right)}\)

[R1990]

Dziękuje !