Kilka zadań

[Alltir]

1) Rozwiązać (ze sprawdzeniem) równanie w dziedzinie zespolonej: \(\displaystyle{ e ^{z} = i}\).

2) Wykazać, że w dziedzinie zespolonej \(\displaystyle{ \left( \cos z\right) ^{'} = -\sin z}\)

3) Dlaczego funkcja \(\displaystyle{ \cosh z}\) jest okresowa?

4) Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \ln z = -1-i}\) w dziedzinie zespolonej.

5) Wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(z) = 2z\overline{z}}\) ma pochodną tylko w \(\displaystyle{ z = 0}\).

6) Wykazać prawdziwość zdania: \(\displaystyle{ \exists z \in C \left|\cos z\right| > 1}\).

7) Wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ \Im(\sin 2z)}\). Jakiej klasy jest ta funkcja?

8) Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \ctg z = 1}\) w dziedzinie zespolonej.

9) Pokazać, że \(\displaystyle{ \forall z \in C \sin ^{2} z + \cos ^{2} z = 1}\)

10) Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \tg z = -1}\) w dziedzinie zespolonej.

11) Zbadać jakiej klasy jest funkcja \(\displaystyle{ \Im (\cos 2z)}\)

12) Zbadać holomorficzność funkcji \(\displaystyle{ f(z)=0,5\left( \Re z + \Im z + z\right)}\)

13) Określić obszar holomorficzności funkcji zespolonej danej wzorem \(\displaystyle{ f(x) = \tg 2z}\). Obliczyć residua w biegunach tej funkcji.

Będę próbował rozwiązywać te zadanka i wrzucać w miarę jak się uda coś zdziałać, jakby ktoś mógł pomóc w razie co lub podać jakieś wskazówki czy pomysły było by miło

-- 28 sie 2012, o 12:28 --

11)

\(\displaystyle{ \cos \left( 2z\right) = \cos \left( 2x + 2yi\right) = \cos \left( 2x\right) \cosh \left( 2y\right) - i\sin \left( 2x\right) \sinh \left( 2y\right)}\)

\(\displaystyle{ \Im \cos \left( 2z\right) = \sin \left( 2x\right)\sinh \left( 2y\right)}\)

\(\displaystyle{ \sin \left( 2x\right)}\) jest klasy \(\displaystyle{ C ^{\infty}}\)

\(\displaystyle{ \sinh \left( 2y\right)}\) jest klasy \(\displaystyle{ C ^{\infty}}\)

Iloczyn 2 funkcji klasy \(\displaystyle{ C ^{\infty}}\) jest także klasy \(\displaystyle{ C ^{\infty}}\)

zatem

\(\displaystyle{ \Im (\cos 2z)}\) jest klasy \(\displaystyle{ C ^{\infty}}\)

ktoś mógłby potwierdzić czy dobrze?

[Chromosom]

1. Po obustronnym zlogarytmowaniu: \(\displaystyle{ z=\ln\,\text i}\)
2. skorzystaj z definicji pochodnej zespolonej
3. definicja funkcji okresowej
itd.