Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiory

[ibag]

Jak w tytule:

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6} \le arg \frac{z(1+i)}{-1+i} \le \frac{\pi}{3}}\)

[miodzio1988]

Najpierw zacznij od pomnożenia przez sprzężenie mianownika całego wyrażenia (licznik i mianownik oddzielnie)

[ibag]

Wyszło:
\(\displaystyle{ \frac {z(-2i)}{2} = -zi}\)

tak?

[miodzio1988]

Co wiesz o argumencie iloczynu?

[ibag]

Można go zapisać jako sumę argumentów, czyli

\(\displaystyle{ \arg z + \arg (-i)}\)

[wiskitki]

\(\displaystyle{ \frac{z(1+i)}{i-1}= \frac{z(1+i)^2}{i^2-1}=- \frac{z(1+2i-1)}{2}=- \frac{2iz}{2}=-iz}\)
czyli \(\displaystyle{ \arg(-iz)=\arg(z)+arg(-i)}\)

\(\displaystyle{ v=0-i \\ |v|=1 \\ \cos\varphi=0 \\ \sin\varphi=-1 \varphi=\frac{3}{2}\pi}\)

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}-\frac{3}{2}\pi<\arg z<\frac{\pi}{3}-\frac{3}{2}\pi \\
- \frac{4}{3}\pi<\arg z<-\frac{7}{6}\pi}\)
Czyli chyba trzeba narysować proste wychodzące z początku układu i tworzące z osią odciętych kąty \(\displaystyle{ - \frac{4}{3}\pi}\) i \(\displaystyle{ -\frac{7}{6}\pi}\), a potem zaznaczyć obszar pomiędzy nimi.

[jolczaczka]

Skąd się wzięło \(\displaystyle{ arg(-iz) = arg(-i) + arg(z)}\) ?

-- 9 paź 2012, o 20:47 --

Dobra już wiem - wzory de Moivre'a