Równanie zespolone - rozbieżność wyników

strykul · Post autor: **strykul** » 18 sie 2012, o 20:49

Prosiłbym o sprawdzenie poprawności wyniku tego równania zespolonego:
\(\displaystyle{ 2 x^{2}+\left( -2-2i\right)z+\left( 2+i\right)=0}\)

Moje rozwiązania to kolejno:

\(\displaystyle{ z _{1}= \frac{1}{2}+ \frac{\left( 1- \sqrt{2} \right)i}{2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ z _{2}= \frac{1}{2}+ \frac{\left( 1+ \sqrt{2} \right)i}{2}}\)

Wolfram odwala jakieś cuda, a ja nie jestem pewien, bo ostatnio liczyłem takie równania w lutym...

Pacek · Post autor: **Pacek** » 18 sie 2012, o 21:30

Mi wyszlo:
\(\displaystyle{ z _{1}= \frac{1-i}{2}
z _{2} = \frac{1+3i}{2}}\)

strykul · Post autor: **strykul** » 18 sie 2012, o 22:09

To coś jak Wolframowi...
Mam pierwiastek z delty \(\displaystyle{ \sqrt{\partial} = \sqrt{-8}}\)
Później postawiam tylko do wzoru na pierwiastki równania kwadratowego...

Pacek · Post autor: **Pacek** » 19 sie 2012, o 14:16

Dokladnie tak, z tym, ze mi wyszedl inny pierwiastek z delty:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \partial } = \sqrt{-16} = 4i}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 19 sie 2012, o 14:19

Ten pierwiastek przyjmuje dwie wartości przypominam

strykul · Post autor: **strykul** » 19 sie 2012, o 20:41

Tak, pamiętam że dwie wartości, ale wystarczy wybrać jedną, bo druga różni się minusem, który to minus pojawia się również naprzemiennie we wzorze na pierwiastki trójmianu, więc z grubsza to nie jest różnica... kiedyś jeszcze w LO zastanawiał mnie problem, dlaczego nie rozpatruje się dwóch przypadków pierwiastka z delty w trójmianie o współczynnikach rzeczywistych, ale nauczyciel którego zapytałem popatrzył na mnie jak na debila to i więcej nie pytałem...

Przeliczyłem to po raz 17, masz pełną rację, delta wyjdzie 16... matko ależ mi się przez te wakacje kalkulator w głowie zastał...

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 19 sie 2012, o 20:45

strykul pisze:kiedyś jeszcze w LO zastanawiał mnie problem, dlaczego nie rozpatruje się dwóch przypadków w trójmianie o współczynnikach rzeczywistych, ale nauczyciel którego zapytałem popatrzył na mnie jak na debila to i więcej nie pytałem...

Cóż, bo pierwiastek rzeczywisty przyjmuje tylko jedną wartość...

strykul · Post autor: **strykul** » 19 sie 2012, o 21:39

Jak 1 wartość, skoro zarówno 4 jak i -4 po podniesieniu do kwadratu daje 16?
Mnie uczyli, że
\(\displaystyle{ \sqrt{16}=\left| 4\right|}\) czyli było, nie było 2 wartości...

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 19 sie 2012, o 21:44

...

gdzie tak Cię uczyli? Nawet zerknij na wykres pierwiastka

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 19 sie 2012, o 21:51

\(\displaystyle{ \sqrt{16}=\left| 4\right| = 4}\) ... to przecież jedna wartość.

Pacek · Post autor: **Pacek** » 20 sie 2012, o 10:00

Zgadzam się z miodzio1988. Zgodnie ze znanną mi definicją pierwiastka powinno być też -4i,
akurat nie wpływa to na wartość miejsc zerowych.
"Pierwiastkiem z liczby a stopnia b nazywa się taką liczbę c która podniesiona do b-tej potęgi jest równa a"

Post autor: **Dasio11** » 20 sie 2012, o 10:21

O, znowu o tym dyskutują. Który to już raz? ^^

Podana wyżej definicja tyczy się pierwiastka algebraicznego. We wzorach na miejsca zerowe funkcji kwadratowej w rzeczywistych korzysta się z pierwiastka arytmetycznego. Pierwiastek arytmetyczny stopnia dwa liczbie \(\displaystyle{ y}\) przypisuje taką nieujemną liczbę \(\displaystyle{ x,}\) że \(\displaystyle{ y=x^2.}\) Dla \(\displaystyle{ y<0}\) takiego \(\displaystyle{ x}\) nie ma, więc pierwiastka arytmetycznego się ujemnym liczbom nie określa.