Osobliwość macierzy(liczby zespolone) - problem

[laewqq]

Witam,

Zbadać osobliwość macierz w zależności od parametru \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}a&0&i\\i&a&0\\0&i&1\end{array}\right|}\)

gdzie \(\displaystyle{ a\in\mathbb{C}}\)

Wyznacznik tej macierzy jest równy: \(\displaystyle{ a^{2} - i}\)

Następnie próbuje wyznaczyć pierwiastki tego równania, ponieważ dla wartości tych pierwiastków macierz będzie osobliwa. Niestety nie potrafię sobie poradzić z ich wyznaczeniem. Dochodzę do takiej postaci:

\(\displaystyle{ \Delta = 4i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{4i}}\)

zatem:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2} - b^{2} = 0 \\ 2ab=4 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2} - b^{2} = 0 \\ a= \frac{2}{b} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b^{4}-4=0 \\ a= \frac{2}{b} \end{cases}}\)

Jak to dalej policzyć ?

[luka52]

Zacznijmy od tego, że źle policzyłeś wyznacznik tej macierzy.

[laewqq]

Przepisałem nie tą macierz co chciałem, już poprawiłem.

[luka52]

Chcąc rozwiązać równanie \(\displaystyle{ a^2 - {\rm i} = 0 \iff a^2 = {\rm i}}\) wygodnie jest zapisać \(\displaystyle{ {\rm i}}\) w postaci wykładniczej - wtedy pierwiastki są natychmiastowe.

[laewqq]

Czyli podsumowując dla:
\(\displaystyle{ a= \sqrt[4]{-1}}\)
oraz
\(\displaystyle{ a = -\sqrt[4]{-1}}\)

Macierz jest osobliwa a dla pozostałych wartości\(\displaystyle{ a}\) jest nieosobliwa ?