liczby zespolone, czy dobrze zrobiłem?

[trzeciack]

Witam, mam takie zadanie do zrobienia, w sumie, to jakoś je ogarnąłem, ale mam trochę wątpliwości, więc może ktoś prześledzić tok mojego rozumowania.

Obliczyć \(\displaystyle{ \mathrm {w=(\left Re z_{1} + iIm z_{2}})\right^{120}}\) , \(\displaystyle{ Re z_{1} \neq 0, Im z_{2} \neq 0,}\) gdzie \(\displaystyle{ z_{1} , z_{2} \in \mathbb{C}}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ \mathrm z ^{2}+\left( i \sqrt{3} -1\right)z - i \sqrt{3} = 0}\)

\(\displaystyle{ z_{1} i z_{2}}\) znajduję obliczając pierwiastek z delty równania, wychodzi mi on \(\displaystyle{ \sqrt{ 2\sqrt{3}i -2 }}\), potem z wzoru de Moivre'a przekształcam to do postaci \(\displaystyle{ 2\left( cos \frac{ \pi }{3} + isin \frac{ \pi }{3} \right)}\) i \(\displaystyle{ 2\left( cos \frac{4 \pi }{3} \pi +isin \frac{4 \pi }{3} 2 \pi \right)}\). To pierwsze równa się \(\displaystyle{ 1 + \sqrt{3} i}\), drugie \(\displaystyle{ -1 -\sqrt{3} i}\).

wychodzą dwa pierwiastki \(\displaystyle{ z_{1} =1 z _{2} =- i\sqrt{3}}\), potem podstawiam je do wyliczenia \(\displaystyle{ w}\) i znowu robię to ze wzoru de Moivre'a.
Ma wyjść \(\displaystyle{ 2 ^{120} \left(cos200 \pi +isin200 \pi \right)}\) czyli \(\displaystyle{ 2 ^{120}}\), czy raczej coś źle zrobiłem?

[pyzol]

Roziwązanie równania możesz sobie sprawdzić na wolframie, wpisując tex-em.
Jeśli chodzi o kąt dla ostaniej liczby do powinien wynosić \(\displaystyle{ -40\pi}\), ale nie zmieniu to wyniku...

[Dasio11]

Ten trójmian można na oko rozłożyć:

\(\displaystyle{ z^2 + \left( \mathrm i \sqrt{3} -1 \right) z - \mathrm i \sqrt{3} = \left( z+ \mathrm i \sqrt{3} \right) (z-1).}\)