Proste równania kwadratowe

[Christofanow]

Witam!

Czy poprawnie liczę rozwiązania następującego równania:
\(\displaystyle{ z^2 + 4i = 0 \\
z^2 = -4i\\
z = \sqrt{4i} \vee -\sqrt{4i} \\
z = \sqrt{4 \cdot \sqrt{-1}} \vee -\sqrt{4 \cdot \sqrt{-1}}\\
z = 2\sqrt{i} \vee -2\sqrt{i}}\)
W odpowiedziach mam cudo w postaci:
\(\displaystyle{ \pm \sqrt{2}(1 - i)}\)
Proszę o wskazówkę co do poprawnego rozwiązania.

[dexter90]

Zrób to z deltą i wyjdzie.

[Christofanow]

\(\displaystyle{ \Delta = b^2 - 4ac\\
\Delta = 16\\
z_1 = \frac{-4i-4}{2} = -2i - 2 = -2 \cdot \sqrt{-1} - 2 = \sqrt{2i} - 2 = \sqrt{2}(i - 1) \\
z_2 = \frac{-4i+4}{2} = -2i + 2 = -2 \cdot \sqrt{-1} + 2 = \sqrt{2i} + 2 = -\sqrt{2}(i-1)}\)
Dobrze?

[ares41]

Nie.
Równanie kwadratowe ma ogólną postać \(\displaystyle{ az^2+bz+c=0}\).
Przyjrzyj się temu i temu co Ty napisałeś, tj. jakie współczynniki podstawiłeś do wzorów.

[dexter90]

Lub

\(\displaystyle{ z^2=4i\\ z=\sqrt{4i}}\)

A o pierwiastkach poczytaj, bo nie liczy się tego tak, jak w twoim 1 poście.

[ares41]

Swoją drogą, to równanie można znacznie szybciej policzyć, kładąc \(\displaystyle{ z=x+yi}\) i porównać części rzeczywiste i urojone w równaniu \(\displaystyle{ (x+yi)^2=-4i}\)

[Christofanow]

Nie rozumiem, nie mam np. równania
\(\displaystyle{ z^2 + z + 1 = 0\\}\)
tylko
\(\displaystyle{ z^2 + 4i = 0\\}\) to znaczy, że \(\displaystyle{ 4i = bz}\)?

\(\displaystyle{ (x+yi)^2 = -4i \\
(x^2 + 2xyi + y^2i^2) = 4i \\
x^2 + 2xyi - y^2 = 4i \\
x^2 + 2xyi - y^2 - 4i = 0\\}\)
Dalej nie już nie wiem.

[Dasio11]

Dla \(\displaystyle{ z^2+4 \mathrm i = 0}\) masz \(\displaystyle{ a=1, b=0, c=4 \mathrm i.}\)

[ares41]

\(\displaystyle{ (x+yi)^2 = -4i \\
(x^2 + 2xyi + y^2i^2) = 4i \\
x^2 + 2xyi - y^2 = 4i \\
x^2 + 2xyi - y^2 - 4i = 0\\}\)
Dalej nie już nie wiem.

Źle. Gubisz minusy.

\(\displaystyle{ (x+yi)^2 = -4i \\ \ldots \\ x^2 + 2xyi - y^2 = \red-\black 4i \\ \begin{cases} x^2-y^2=0\\ 2xy=-4 \end{cases}}\)
Rozwiąż ten układ równań.
Stąd już łatwo odczytać rozwiązanie.

[Christofanow]

Dzięki poradziłem sobie, wynik wyszedł poprawny.
\(\displaystyle{ z^2 + 2i = 0 \\
x^2 + 2xyi - y^2 + 2i = 0 \\
\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\2xy + 2 = 0 \end{cases}\\
\begin{cases}x^2 + \frac{1}{x^2} = 0 \\ 2xy = -2 \end{cases}\\
\begin{cases} 2x^2 = -1 \\2xy = -2 \end{cases}\\}\)
Co dalej?

[dexter90]

Gdzie się zaczyna przykład, a gdzie kończy? TO układ równań?? Zapisz to po ludzku.

[Christofanow]

Jaśniej proszę. Przykład to pierwsza linia, co chyba widać bo przykładowo druga to zwykłe przekształcenie korzystając z \(\displaystyle{ z = (x+ yi)}\)-- 1 sie 2012, o 21:17 --Ktoś pomoże?