Wykazanie równość - cześć rzeczywista a urojona

[Christofanow]

Witam!

Mam problem z tą równością:
\(\displaystyle{ \Re(iz) = -\Im(z) \\}\)Nie wiem jak to pociągnąć dalej, dochodzę do:
\(\displaystyle{ \Re(iz) = \Re(xi - y)}\)ale dalej nie wiem już jak to powiązać bo rozumiem, że \(\displaystyle{ \Re(xi - y)}\)zwróci mi \(\displaystyle{ xi}\) to wówczas by oznaczało, że \(\displaystyle{ xi = -\Im(x+y) \Rightarrow xi = -y}\) a to chyba nie jest prawdą. Proszę o wskazówkę gdzie popełniam błąd .

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ Re(xi-y)=xi}\) to nie jest prawda.

[Christofanow]

Zgłupiałem już kompletnie. Funkcja \(\displaystyle{ \Re()}\) przyporządkowuje liczbie \(\displaystyle{ z}\) jej część rzeczywistą? To jeśli mam liczbę \(\displaystyle{ z = (x + yi)}\) to \(\displaystyle{ \Re(z) = x}\)?
\(\displaystyle{ zi = (xi + yi^2) = (xi - y) \Rightarrow \Re(zi) = -y?}\)
Czyli po tym przemożeniu przez \(\displaystyle{ xi}\) staje się częścią urojoną a \(\displaystyle{ -y}\) rzeczywistą?
Jeśli tak to sprawa jest prosta:
\(\displaystyle{ \Re(zi) = - \Im(z) \\
\Re(zi) = -y \wedge \Im(z) = y \Rightarrow - Im(z) = -y \Rightarrow \Re(zi) = -\Im(z)}\)

Dobrze?

[Nakahed90]

Czyli po tym przemożeniu przez \(\displaystyle{ xi}\) staje się częścią urojoną

Wszystko jest ok, poza zacytowanym wyżej fragmentem.

[Christofanow]

Czyli po tym przemożeniu przez \(\displaystyle{ xi}\)staje się częścią urojoną

Napisać chciałem inaczej nieco tj.

Czyli po tym przemożeniu przez \(\displaystyle{ i}\), \(\displaystyle{ xi}\) staje się częścią urojoną

Nadal niepoprawnie? Nie jestem zbyt rozeznany w temacie liczb zespolonych więc pewnie błędnie interpretuję i nazywam pewnie rzeczy - popraw mnie, może troszkę jaśniej .

Jeszcze mam taki problem:
Teza:
\(\displaystyle{ Im (z_{1} + z_{2}) = Im z_{1} + Im z_{2}}\)
Nie mam pojęcia jak to wykazać pomimo, że jest to intuicyjnie poprawne. Może być tak:
\(\displaystyle{ Im(x_1 + y_1i + x_2 + y_2i) = y_1 + y_2 = Im(x_1 + y_1i) + Im(x_2 + y_2i)}\)
?

[Nakahed90]

Jak dla mnie dowód wystarczający.
Tak apropo wcześniejszego, spójrz na ten dowód jeszcze raz i będziesz wiedział czemu tamto jest źle.

[Christofanow]

\(\displaystyle{ Re(zi) = -y}\) czyli \(\displaystyle{ -y}\) jest część rzeczywistą a nie jak wcześniej myślałem urojoną, pewnie o ten błąd we wnioskowaniu chodzi.

[Nakahed90]

Tak, o tym właśnie błędzie pisałem.