rownanie zespolone

[mike_btls]

w jaki sposob rozwiazac rownanie:
\(\displaystyle{ (\frac{z-i}{z+i})^4=1}\)?

[silicium2002]

\(\displaystyle{ (z-i)^4=(z+i)^4}\)
i pierwiastek 4 stopnia
\(\displaystyle{ |z-i|=|z+i| \Rightarrow z \left\{ -1,0,1\right\}}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ (z-i)^4=(z+i)^4}\)
i pierwiastek 4 stopnia
\(\displaystyle{ |z-i|=|z+i| \Rightarrow z \left\{ -1,0,1\right\}}\)

Nie pierwiastek czwartego stopnia, tylko użycie faktu, że jeśli \(\displaystyle{ z^n=u^n}\), to \(\displaystyle{ |z|=|u|}\).

Ponadto równość \(\displaystyle{ |z-i|=|z+i|}\) spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, więc wniosek, że \(\displaystyle{ z\in \{-1,0,1\}}\) jest co najmniej przedwczesny.

Prościej jest na przykład tak:
\(\displaystyle{ (z+i)^4-(z-i)^4= \\ = ((z+i)^2- (z-i)^2)((z+i)^2+ (z-i)^2)= \\ =8zi(z^2+i^2)= 8iz(z-1)(z+1)}\)
więc nasze równanie to:
\(\displaystyle{ 8iz(z-1)(z+1)=0}\)

Można też skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+i}}\) musi być jednym z pierwiastków czwartego stopnia z jedynki (i łatwo widać, że musi być tym różnym od jedynki).

Q.