Liczby zespolone ciekawe zadania.

[miki5454]

Cześć bardzo pilnie potrzebuje odpowiedzi na kilka zadań .Myślę ze te zadania specjalistom z tego forum nie powinny sprawić żadnego problemu
Bardzo dziękuję za wszelką pomoc..

Zad1
Przy pomocy liczb zespolonych oblicz \(\displaystyle{ cos15^o}\)

Zad2
Podać postać trygonometryczną liczby zespolonej:
13-13i

Zad3
Udowodnić że liczba zespolona \(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-x-1}\)
Znaleźć wszystkie pierwiastki tego wielomianu.

Zad4
Udowodnij ze liczba zespolona \(\displaystyle{ -i}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}-2}\)
Znajdź pozostałe pierwiastki

Zad5
Zamienic na postać trygonometryczną liczby zespolone \(\displaystyle{ 3i}\) oraz \(\displaystyle{ 2+2i}\)

Zad6
Przy pomocy liczb zespolonych wyznaczyć \(\displaystyle{ sin3\alpha}\) w zależności od \(\displaystyle{ sin\alpha}\) i \(\displaystyle{ cos\alpha}\)

[Hamster]

Zad.5
\(\displaystyle{ z=2+2i}\) \(\displaystyle{ |z|=2\sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}}\) \(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Widzisz, ze jest to pierwsza ćwiartka, więc \(\displaystyle{ Argz=\frac{\pi}{4}}\)

Więc
\(\displaystyle{ 2+2i=2\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})}\)

Pozostałe tego typu przykłady analogicznie.

Zad.3
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-x-1}\)

\(\displaystyle{ x1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)

Jeżeli liczba x1 jest pierwiastkiem wielomianu, to liczba x2=x1(sprzężone) również jest pierwiastkiem wielomianu.
Zatem \(\displaystyle{ x2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)

I teraz wiesz ,ze ten wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-x1)(x-x2)}\)
Więc:

\(\displaystyle{ [x-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)][x-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)]=}\)
\(\displaystyle{ x^2-x(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)-x(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)+(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=}\)
\(\displaystyle{ x^2-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}xi-\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}xi+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i+\frac{\sqrt{3}}{4}i+\frac{3}{4}=}\)
\(\displaystyle{ x^2-x+1}\)

Dzielisz \(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-x-1}\) przez \(\displaystyle{ x^2-x+1}\)

Wychodzi \(\displaystyle{ x^2+2x+1}\) i reszta \(\displaystyle{ -2x-2}\)

I teraz nie pamiętam, bo jest reszta. Tak na logikę, to wiadomo,że mają być 4 pierwiastki. Pierwiastkiem z tego co wyszło jest -1, a pierwiastkiem z reszty jest też -1. Więc chyba tak ma być(Nie jestem pewien).
Piszesz odpowiedź, że są 4 pierwiastki :

\(\displaystyle{ x1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
\(\displaystyle{ x2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
\(\displaystyle{ x3=-1}\)
\(\displaystyle{ x4=-1}\)

-1 jest podwójnym pierwiastkiem.

4 analogicznie.

[Calasilyar]

4 analogicznie.

można łatwiej
\(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}-2=(x^{2}-2)(x^{2}+1)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{-1})(x+\sqrt{-1})=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-i)(x+i)}\)