Pochodna funkcji zespolonej

[white_chocolate]

Mam pytanie. Nie wkurzajcie sie, bo mam kolokwium z czegos, czego nie mielismy na zajęciach w ogóle i nie bardzo to rozumiem. Chodzi o sprawdzanie czy istnieje pochodna funkcji zespolonej. Mam daną funkcję:
\(\displaystyle{ \begin{cases{cases}} \frac{ z^{2} }{ \vec{z} } \dla\ z \neq 0 \\ 0 \dla\ z=0 \end{cases{cases}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \vec{z}}\) oznacza sprzężenie bo nie wiem jak tu sie oznacza sprzężenie. Przepraszam, że tak niechlujnie piszę ale jutro mam kolokwium i nie bardzo mam czas czytac całą instrukcję, a pilnie potrzebuję pomocy. Wiem jaka jest definicja pochodnej jesli chodzi o granicę tzn:
\(\displaystyle{ \lim_{ z\to z_{0} } \frac{f( z_{0}+z) - f( z_{0}) }{z}}\) Musi istnieć skończona granica.
Mam sprawdzić, czy moja funkcja ma pochodną w punkcie 0. Wyszło mi na końcu:
\(\displaystyle{ cos(2 \alpha )+isin( 2\alpha )}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest argumentem liczby z. I co teraz? Funkcja ma pochodną czy nie ma? Wyglada na to, że granica jest zalezna od kąta. Ale nawet nie wiem czy to się sprawdza tak samo jak dla funkcji 2 zmiennych, czy jakos inaczej. Z drugiej strony 2 liczby zespolone sa równe kiedy ich moduły są równe, więc nie wiem, czy jeśli wychodzi mi cos takiego to znaczy, że granica istnieje czy nie? Prosze jak ktos wie to niech mi napisze, bo juz się pogubiłam...

[Lorek]

\(\displaystyle{ \overline{z}}\) <- overline{z}
Granica, aby istnieć, powinna być taka sama niezależnie od tego jak zbiegamy do 0. Stąd jeśli zależy od kąta, to...

Z drugiej strony 2 liczby zespolone sa równe kiedy ich moduły są równe

2 liczby zespolone są równe kiedy ich moduły są równe i ich argumenty różnią się o wielokrotność \(\displaystyle{ 2\pi}\).

[white_chocolate]

Czy to znaczy, że istnieje ta granica, bo moduły każdej takiej liczby będą równe, a katy będą się rózniły o wielokrotność 2Pi (bo ten kąt to argument liczby z)? Bo nie wiem czy dobrze rozumiem. W ogóle dobrze policzylam ta granicę czy źle?

[Lorek]

Granicę policzyłaś dobrze, pod warunkiem, że ten kąt to jest argument. A jak granica zależy od kąta to oczywiście, że nie istnieje, bo choćby definicji Heinego nie spełnia.

[white_chocolate]

Ten kąt to jest argument, ale skoro liczby zespolone są sobie równe gdy maja równe moduły i ich katy róznią sie o wielokrotność 2Pi to czy nie jest tak, że każda taka liczba zespolona postaci \(\displaystyle{ cos2 \alpha +isin2 \alpha}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest argumentem liczby z będzie taka sama?
Bo nie do końca rozumiem czy ta granica istnieje w końxu czy jednak nie Bo odpowiedź jest taka, że istnieje pochodna tej funkcji w punkcie 0 i to jest podobno poprawna odpowiedź, ale nie wiem czy mam na to poprawne wytłumaczenie.

[Lorek]

A jak raz weźmiesz \(\displaystyle{ \alpha=0}\) a raz \(\displaystyle{ \alpha=\pi}\) to różnią się o \(\displaystyle{ 2\pi}\)?

Bo odpowiedź jest taka, że istnieje pochodna tej funkcji w punkcie 0 i to jest podobno poprawna odpowiedź, ale nie wiem czy mam na to poprawne wytłumaczenie.

Hm, mamy do policzenia \(\displaystyle{ \lim_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)}{z}=\lim_{z\to 0}\frac{z}{\overline {z}}}\).
Weźmy ciąg \(\displaystyle{ z_n=\frac{i}{n}}\), wtedy \(\displaystyle{ \frac{z_n}{\overline {z_n}}=-1\xrightarrow{n\to\infty} -1}\). A teraz \(\displaystyle{ z_n'=\frac{1}{n}\Rightarrow \frac{z_n'}{\overline {z_n'}}=1\xrightarrow{n\to\infty} 1}\)
więc nie jest spełniona definicja granicy wg Heinego, tym samym nie ma granicy.

[white_chocolate]

Rzeczywiście z tej definicji Heinego wynika, że nie istnieje taka granica i ten przykład rozumiem, dzieki. Juz wiem, jaki zrobiłam bląd, ja wzięłam pod uwagę jedną liczbę z i myslalam, że każdy jej argument rozni sie o 2Pi a przecież to jest funkcja dla liczb zespolonych i pewnie dla 2 róznych liczb z będa 2 rózne argumenty . Dzieki, nie wiem czemu w odpowiedzi jest, że granica istnieje. W kazdym bądx razie juz teraz rozumiem.