Rówanie zespole

[luzak25]

Witam, mam problem z rozwiązaniem dwóch zadań:\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{1-i} \right)^{3}=1}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{z-i}{1-i} \right)^{4}=1}\)
Proszę o wskazówki jak poradzić sobie z tym zadaniem.
Z góry dzięki.

[Chromosom]

luzak25, pomnóż stronami: pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ (1-\text i)^3}\); drugie przez \(\displaystyle{ (1-\text i)^4}\).

[lightinside]

a umiesz podnosić liczby zespolone do potęgi? bo to by sie przydało...

do luzaka25... nie do chromosoma;)-- 16 cze 2012, o 18:20 --Wpierw musisz zamienić na trygonometryczną postać... taka podpowiedź....

aby móc podnieść...

[luzak25]

Po przemnożeniu już się wszystko stało jasne, podnosić do potęgi umiem ale jakoś nie mogłem wpaść żeby to doprowadzić do postaci trygonometrycznej.
Wielkie dzięki bo strasznie się męczyłem z tym zadaniem -- 16 cze 2012, o 18:54 --A co zrobić jeśli zamiast liczby 1 jest z tj.\(\displaystyle{ \left( \frac{z-i}{z+i} \right)^{4}=1}\)

[Lorek]

W każdym z przypadków można skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ z^n=w^n\iff z=w\cdot \varepsilon_i}\) gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_i}\) to pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki.

[luzak25]

Można trochę jaśniej bo nie bardzo mogę sobie poradzić z zastosowanie tego wzoru w zadaniu.

[Lorek]

No na przykład
\(\displaystyle{ \left( \frac{z-i}{z+i} \right)^{4}=1\iff \left( \frac{z-i}{z+i} \right)^{4}=1^4\iff \frac{z-i}{z+i}=\varepsilon_k}\)
gdzie za \(\displaystyle{ \varepsilon_k}\) wstawiasz kolejne pierwiastki 4. stopnia z jedynki, inaczej rozwiązania równania \(\displaystyle{ u^4=1}\), inaczej liczby postaci \(\displaystyle{ \varepsilon_k=\cos \frac{2k\pi}{4}+i\sin\frac{2k\pi}{4}}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\). Oczywiście możesz najpierw wyznaczyć \(\displaystyle{ z}\).

[luzak25]

Po wyznaczeniu z wychodzi mi takie \(\displaystyle{ z= \frac{ \varepsilon_{k}*i+i }{1-\varepsilon_{k}}}\) i po wstawieniu \(\displaystyle{ \varepsilon_{0}=1}\) w mianowniku powstaje zero. Dla innych \(\displaystyle{ \varepsilon_{k}}\) wychodzą dobre wartości.

[Lorek]

No i nie ma się co dziwić, jak się popatrzy na równanie \(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+i}=1}\) to widać, że jest ono sprzeczne.

[luzak25]

Czyli w rozwiązaniu zapisać że dla \(\displaystyle{ \varepsilon_{0}}\) równanie jest sprzeczne a dla pozostałych \(\displaystyle{ \varepsilon_{k}}\) równanie ma rozwiązania?

[Lorek]

W rozwiązaniu napisać rozwiązania, czyli te \(\displaystyle{ z}\), które udało się otrzymać, nie trzeba nic pisać na temat pierwiastków jedynki. Ewentualnie można dodać taki komentarz.

[luzak25]

Wielkie dzięki za pomoc bo już nie dawałem sobie rady z tym zadaniem.