Rozwiązać równanie

[rayan.g.]

\(\displaystyle{ z^{5} = |z|^{2} ,\ \ z \in\mathbb C}\)

w ogóle nie wiem, jak to zacząć, podstawić za \(\displaystyle{ z=a +\text i\,b}\) a za \(\displaystyle{ |z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ?
i co dalej?

[Chromosom]

rayan.g., lepiej jest zastosować postać wykładniczą liczby zespolonej.

[rayan.g.]

ale i z i |z| mam zastąpić postacią wykładniczą? Co dalej? bo NAPRAWDĘ nie wiem

[Chromosom]

rayan.g., tak.

[rayan.g.]

mógłbys napisac coś więcej? bo naparwde nie wiem co mam z tym zrobic, jak już wcześniej pisałam..

[Chromosom]

Przekształć równanie zgodnie z następującą zależnością:

\(\displaystyle{ z=|z|e^{\text i\,\theta}}\)

[ocelon]

\(\displaystyle{ r = \left | z \right | \\ z^5 = (re^{(i\varphi)})^5=r^5e^{5i\varphi}\\r^5e^{5i\varphi}=r^2 \cdot 1\\ r^5e^{5i\varphi}=r^2 \cdot e^0 \\ r^5=r^2 \ [r\in \mathbb{R},\ r\geq 0]\\r^5-r^2=0 \Rightarrow r^2(r^3-1)=0 r \\r=0 \vee r^3-1=0 => r \in \left \{ \right.1,0\left. \right \}\\e^{5i\varphi}=e^0 \\ 5\varphi = 2k\pi \Rightarrow \varphi = \frac{2k\pi}{5}\Rightarrow \varphi \in \left \{ \left.0, \frac{2\pi}{5},\frac{4\pi}{5},\frac{6\pi}{5},\frac{8\pi}{5}\right \} \right.\\\left\{\begin{matrix}z = 0
\\ z=e^0=1
\\ z=e^{i\frac{2\pi}{5}}
\\ z=e^{i\frac{4\pi}{5}}
\\ z=e^{i\frac{6\pi}{5}}
\\ z=e^{i\frac{8\pi}{5}}

\end{matrix}\right.}\)

Pozamieniaj na algebraiczną

[rayan.g.]

Dziękuje bardzo