równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Harahido
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 284
Rejestracja: 9 maja 2010, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Silesia
Podziękował: 139 razy

równanie zespolone

Post autor: Harahido »

Witam,
Dochodzę do pewnego etapu w rozwiązaniu i nie wiem co potem zrobić.
Polecenie:
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ z=z ^{-2}}\)

Moje obliczenia:
1. Zapisuję w postaci wykładniczej :
\(\displaystyle{ re ^{i \alpha }= re ^{-2i \alpha }}\)
2. Mam już pierwsze rozwiązanie, dla r =0 (czyli z=0)
Ale dalej muszę się bawić , więc \(\displaystyle{ re ^{i \alpha }= \frac{1}{re ^{2i \alpha }}}\)
3. Mnożę to obustronnie i otrzymuję
\(\displaystyle{ re ^{3i \alpha }=1}\) , a \(\displaystyle{ e ^{0}=1}\)
4. Porównuję wykładniki :
\(\displaystyle{ 3i \alpha = 0 + 2k \pi}\)

Jak się pozbyć tego i ? Nie mogę tego przecież od tak zamienić na \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\)
Jakiś trick ? Proszę o pomoc:)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

równanie zespolone

Post autor: »

Harahido pisze:Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ z=z ^{-2}}\)
1. Zapisuję w postaci wykładniczej :
\(\displaystyle{ re ^{i \alpha }= re ^{-2i \alpha }}\)
\(\displaystyle{ re ^{i \alpha }= r^{-2}e ^{-2i \alpha }}\)

Q.
Awatar użytkownika
Harahido
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 284
Rejestracja: 9 maja 2010, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Silesia
Podziękował: 139 razy

równanie zespolone

Post autor: Harahido »

Masz rację, jest błąd. Ale po jego uwzględnieniu dochodzimy do :
\(\displaystyle{ e ^{0}=r ^{-3} e ^{-3i \alpha }}\)

i jak to przyrównać ? Jak pozbyć się i ?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

równanie zespolone

Post autor: »

Harahido pisze:4. Porównuję wykładniki :
\(\displaystyle{ 3i \alpha = 0 + 2k \pi}\)
\(\displaystyle{ 3i \alpha = 0 + 2ik \pi}\)

Q.
Awatar użytkownika
Harahido
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 284
Rejestracja: 9 maja 2010, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Silesia
Podziękował: 139 razy

równanie zespolone

Post autor: Harahido »

Mogę to tylko zastosować dla r=1, wtedy rozwiązania wychodzą :
\(\displaystyle{ z _{1} =0}\)
\(\displaystyle{ z _{2} = -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ z _{3} = \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ z _{4} =1}\)

Narysowałem sobie wykres i nawet by się zgadzało Tylko ten pierwiastek z=0 nie leży na wierzchołkach n-kąta wpisanego w okrąg. Czemu ?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

równanie zespolone

Post autor: »

Ale przecież \(\displaystyle{ z=0}\) nie jest rozwiązaniem tego równania - wyszło Ci tylko jako konsekwencja błędu rachunkowego.

Q.
Awatar użytkownika
Harahido
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 284
Rejestracja: 9 maja 2010, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Silesia
Podziękował: 139 razy

równanie zespolone

Post autor: Harahido »

I r nigdy nie może równać się zero, bo z założenia \(\displaystyle{ r=| z | >0}\)

Dziękuję ślicznie za kompleksową pomoc:)
ODPOWIEDZ