Równanie zespolone z postacią algebraiczną

[wiskitki]

\(\displaystyle{ (\overline{z})^3=4|z|^4 \\ |z|^3e^{-3i\varphi}=4|z|^4 \\ z^3(e^{-3i\varphi}-4|z|)=0 \\ |z|=0 \vee e^{-3i\varphi}=4|z|}\)
I jak teraz rozwiązać drugi przypadek?

[Qń]

Prościej chyba zacząć od przyłożenia modułu do obu stron równania, żeby otrzymać \(\displaystyle{ |z|=\frac 14}\) lub \(\displaystyle{ z=0}\), a następnie pomnożenia stronami przez \(\displaystyle{ z^3}\):
\(\displaystyle{ |z|^6=4|z|^4\cdot z^3}\)
Widać, że jednym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ z=0}\), a dla różnych od zera mamy równoważnie:
\(\displaystyle{ z^3=\frac{|z|^2}{4}=\frac{1}{4^3}}\)
skąd widać, że \(\displaystyle{ z}\) może być jednym z trzech pierwiastków trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ \frac{1}{4^3}}\)

Q.

[wiskitki]

Problem w tym, że w poleceniu jest: korzystając z postaci wykładniczej rozwiązać równanie...

[Qń]

W Twojej metodzie w drugim przypadku wystarczy zauważyć, że skoro moduł lewej strony jest równy jeden, to prawej także, a zatem \(\displaystyle{ |z|=\frac 14}\). Wystarczy więc rozwiązać równanie \(\displaystyle{ e^{-3i\varphi}=1}\).

Q.

[wiskitki]

a następnie pomnożenia stronami przez \(\displaystyle{ z^3}\):
\(\displaystyle{ |z|^6=4|z|^4\cdot z^3}\)

A nie powinno być \(\displaystyle{ |z|^3=4|z|^4\cdot z^3}\)?

[Qń]

Nie: \(\displaystyle{ z\cdot \overline{z} = |z|^2}\)

Q.