równanie kwadratowe z e do zespolonej

[tanisha]

Znaleźć wszystkie rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ e^{2x} +4ie^{z} -8 =0}\)

[Lorek]

To tak ma być, że raz jest w wykładniku \(\displaystyle{ x}\) a raz \(\displaystyle{ z}\)?

[tanisha]

no właśnie w tym problem, że tak

[Lorek]

Może komuś przy pisaniu się palec omsknął? W końcu x jest obok z Jeszcze jakby ten \(\displaystyle{ x}\) to był tez występujący tu \(\displaystyle{ z=x+iy}\) to dałoby się coś wykombinować, ale jak \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ z}\) nie mają ze sobą nic wspólnego to da się tylko wyznaczyć rozwiązanie zależne od jednej z tych zmiennych.

[tanisha]

wydaje mi się, że tak właśnie trzeba przyjąć. Znalazłam w którymś ze skryptów taką zależność: \(\displaystyle{ e^{z} = e^{x}\left( \cos y + i\sin y\right)}\). da się to jakoś rozwiązać, uwzględniając tę definicję?

[Lorek]

Znaczy, że co? Że \(\displaystyle{ z=x+iy}\)? To się da. Korzystasz z tej zależności co napisałaś, wstawiasz i dzielisz to co wyjdzie na część rzeczywistą i urojoną. I potem będziesz to mogła zamienić na układ równań.

[tanisha]

tylko że zacięłam się na tyle, że nie wiem nawet jak jakąś rozsądną deltę z tego policzyć . mogłabym prosić o dodatkową wskazówkę?

[Lorek]

Już tak daleko doszłaś, że deltę liczysz?
\(\displaystyle{ e^{2x}+4ie^x(\cos y+i\sin y)-8=0\\e^{2x}-4e^x\sin y-8+4ie^x\cos y=0 \\\begin{cases}e^{2x}-4e^x\sin y-8=0\\e^x\cos y=0\end{cases}}\)
do tego doszłaś?

[tanisha]

nie:) Ale policzyłam sobie do końca. Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ \cos y=0}\) , stąd \(\displaystyle{ y= \frac{k\pi}{2}}\) . Przechodzę do pierwszego, liczę deltę ;p za \(\displaystyle{ \sin ^{2} y}\) wstawiam 1. Potem, już przy pierwiastkach uwzględniam że sinus może być -1 albo 1, więc mam ich 4.
Logarytmuję każde i mam ? Dobrze myślę?

[Lorek]

Prawie. Logarytmujesz te, które są dodatnie. I nie zapomnij o tym, że dla pewnych rozwiązań \(\displaystyle{ y}\) jest jednej postaci, a dla innych już innej.

[tanisha]

Masz rację, przeoczyłabym. Dzięki wielkie!