Dowód, liczby zespolone

[Katarzyna92]

\(\displaystyle{ \left| z_{1}\right| = \left| z_{2}\right| =\left| z_{3} \right| =1; z_{1},z_{2},z_{3}}\) - są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ \Rightarrow z_{1}+z_{2}+z_{3}=0}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[alfgordon]

skorzystaj z postaci trygonometrycznej,kolejne argumenty różnią się o kąt \(\displaystyle{ \frac{2\pi }{3}}\)

[Marcinek665]

Z warunku \(\displaystyle{ \left| z_{1}\right| = \left| z_{2}\right| =\left| z_{3} \right| =1}\) wnioskujemy, że wszystkie te liczby zespolone leża na okręgu jednostkowym. Ponadto są one wierzchołkami trójkąta równobocznego, dlatego możemy napisać, że są to pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki, czyli:

\(\displaystyle{ 1, \ \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \ \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}.}\)

Aby zachować pełną ogólność, pomnóżmy te liczby przez \(\displaystyle{ \omega = \cos \alpha + i \sin \alpha}\) (to tak naprawdę obrót wokół środka układu, otrzymamy w ten sposób:

\(\displaystyle{ z_{1}+z_{2}+z_{3} = \omega + \omega \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}+ \omega \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} = \\ = \omega \left( 1 + \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} + \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right) = \omega \cdot 0 = 0.}\)

Czyli faktycznie, \(\displaystyle{ z_{1}+z_{2}+z_{3} = 0}\), co kończy zadanie.

[octahedron]

Albo tak:

\(\displaystyle{ z_1=e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\\\\
z_2=e^{i\left(\varphi+\frac{2\pi}{3}\right)}=\cos\left(\varphi+\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\varphi+\frac{2\pi}{3}\right)\\\\
z_3=e^{i\left(\varphi+\frac{4\pi}{3}\right)}=\cos\left(\varphi+\frac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(\varphi+\frac{4\pi}{3}\right)\\\\
z_2+z_3=\cos\left(\varphi+\frac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(\varphi+\frac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(\varphi+\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\varphi+\frac{4\pi}{3}\right)=\\\\
=2\cos\frac{1}{2}\left(\varphi+\frac{2\pi}{3}+\varphi+\frac{4\pi}{3}\right)\cos\frac{1}{2}\left(\varphi+\frac{2\pi}{3}-\varphi-\frac{4\pi}{3}\right)+\\\\+2i\sin\frac{1}{2}\left(\varphi+\frac{2\pi}{3}+\varphi+\frac{4\pi}{3}\right)\cos\frac{1}{2}\left(\varphi+\frac{2\pi}{3}-\varphi-\frac{4\pi}{3}\right)=\\\\
=2\cos\big(\varphi+\pi\big)\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+2i\sin\big(\varphi+\pi\big)\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\\\\
=-\cos\varphi-i\sin\varphi=-z_1 \Rightarrow z_1+z_2+z_3=0}\)

[Katarzyna92]

A wie ktoś może jak przeprowadzić ten dowód w drugą stronę?

[Lorek]

300026.htm