Zbór liczb zespolonych

[forgottenhopes]

1)Narysuj zbiór A:

\(\displaystyle{ A=\left\{ z\in C : \frac{\left| z-3\right| }{\left| i+1\right| }<1 \quad \wedge \quad \arg \left( 1-z \right) \in \left( \frac{\pi}{3},\pi \right) \right\}}\)

z pierwszego warunku otrzymałam koło otwarte o środku w punkcie \(\displaystyle{ S \left( 3,0 \right)}\) i \(\displaystyle{ r= \sqrt{2}}\)
a co z drugim? jak później uwzględnić oba te warunki przy rysowaniu zbioru?

2)Wyznaczyć zbiór B

\(\displaystyle{ B=\left\{ z \in C : \arg \left( z-i \right) \left( \overline{z}+1 \right) \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right) \right\}}\)

Będę wdzięczna za jakąkolwiek wskazówkę

[Lorek]

\(\displaystyle{ \arg (1-z)=\pi+\arg(z-1)}\)
a żeby narysować \(\displaystyle{ \arg (z-1)}\) to rysujesz \(\displaystyle{ \arg z}\) i przesuwasz o wektor \(\displaystyle{ [1,0]}\).

[Dasio11]

Można zapisać

\(\displaystyle{ A = \left\{ z \in \mathbb C: \frac{|z-3|}{|\mathrm i +1|} < 1 \right\} \cap \left\{z \in \mathbb C: \arg (1-z) \in \left( \frac{\pi}{3}, \pi \right) \right\},}\)

więc wystarczy wyznaczyć każdy ze zbiorów osobno i narysować elementy wspólne.

Warunek

\(\displaystyle{ \arg (1-z) \in \left( \frac{\pi}{3}, \pi \right)}\)

można przekształcić do

\(\displaystyle{ \arg (z-1) \in \left( \frac{4\pi}{3}, 2\pi \right),}\)

czyli zbiór spełniających go liczb to kąt otwarty

\(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi < \arg z < 2 \pi}\)

przesunięty o \(\displaystyle{ 1}\) w prawo.


2. Zachodzi

\(\displaystyle{ \arg \big( (z- \mathrm i) \left( \overline z + 1 \right) \big) \equiv \arg(z- \mathrm i) + \arg \overline{z +1} \equiv \arg( z- \mathrm i) - \arg(z+1),}\)

przy czym \(\displaystyle{ a \equiv b}\) ma oznaczać, że różnica \(\displaystyle{ b-a}\) jest całkowitą wielokrotnością \(\displaystyle{ 2 \pi.}\) Wobec tego, warunek

\(\displaystyle{ \arg \big( (z- \mathrm i) \left( \overline z + 1 \right) \big) \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4} \right)}\)

można zapisać jako

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}+2k \pi < \arg( z- \mathrm i) - \arg(z+1) < \frac{7}{4} \pi + 2k \pi}\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}+2k \pi < \arg( z- \mathrm i) - \arg(z+1) < -\frac{\pi}{4} + (2k+1) \pi.}\)

Liczba \(\displaystyle{ \arg( z- \mathrm i) - \arg(z+1)}\) interpretuje się jako miara kątą między wektorami \(\displaystyle{ \overrightarrow{(-1)z}, \ \overrightarrow{\mathrm i z},}\) przy czym mierzy się w sposób jak na rysunku:



Dlatego rozwiązaniem jest suma kół \(\displaystyle{ |z|<1, \quad |z-(\mathrm i -1)| < 1.}\)

[forgottenhopes]

Więc w 1) zbiorem A będzie połowa koła o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(3,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r= \sqrt{2}}\) zawarta pod osią OX ?

[Dasio11]

Zgadza się.

[forgottenhopes]

Dziękuję za pomoc