Równanie zespolone

[Nesquik]

\(\displaystyle{ z^{4}= (3-i)^{8}}\)
Jak rozwiązać takie równanie??
Jeden pierwiastek to \(\displaystyle{ (3-i)^{2}}\) ?

[Forte]

myślę, że nie tak prosto, po pierwsze
zamień\(\displaystyle{ (3-i)^8}\) na postać trygonometryczną.
A później wzorami De Moivre'a na pierwiastki

[Nesquik]

Ale jak te wartości na radiany zamienic?

[Dasio11]

myślę, że nie tak prosto

Czemu nie? Jednym pierwiastkiem faktycznie jest \(\displaystyle{ (3- \mathrm i)^2,}\) a kolejne dostaje się mnożąc ten przez pierwiastki czwartego stopnia z jedynki, które skądinąd są dość ładne.

[Nesquik]

a mógłbys napisac jak policzyc te pozostałe,bo nie rozumiem za bardzo;/ to nie z tego wzoru na z cos i sin?

[Dasio11]

Równanie

\(\displaystyle{ z^{4}= (3- \mathrm i)^{8}}\)

można przekształcić do

\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{(3- \mathrm i)^2} \right)^4 = 1,}\)

co można chwilowo zapisać jako

\(\displaystyle{ w^4=1.}\)

Ze wzoru de Moivre'a lub z zabawy w rozkładanie wielomianu \(\displaystyle{ w^4-1}\) otrzymujemy cztery rozwiązania powyższego równania:

\(\displaystyle{ w \in \{ 1, \mathrm i, -1, - \mathrm i \}.}\)

Stąd pierwotne równanie też ma cztery rozwiązania:

\(\displaystyle{ z= w(3- \mathrm i)^2,}\)

czyli

\(\displaystyle{ z=(3- \mathrm i)^2 \vee z= \mathrm i \cdot (3- \mathrm i)^2 \vee z=-(3- \mathrm i)^2 \vee z=- \mathrm i \cdot (3- \mathrm i)^2.}\)

[Nesquik]

Ojej:D dzięki:)