Argument główny

[forgottenhopes]

Wyznaczyć argument główny:
\(\displaystyle{ z= \frac{1-i\tg\alpha}{1+i\tg\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \alpha\in( \frac{3}{2}\pi, 2\pi)}\)

przekształciłam \(\displaystyle{ z}\) do postaci \(\displaystyle{ \frac{1-\tg^{2}\alpha }{1+\tg^{2}\alpha }- \frac{2\tg\alpha}{1+\tg^{2}\alpha }\cdot i}\)
\(\displaystyle{ |z|=1}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{1-\tg^{2}\alpha }{1+\tg^{2}\alpha }}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^{2}\alpha }}\)
czy to jest dobry sposób rozumowania i czy wyniki są poprawne?
co zrobić dalej? jak określić cosinusa i sinusa oraz argz?
Proszę o pomoc

[octahedron]

\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{1-i\tg^{2}\alpha }{1+i\tg^{2}\alpha }\\\\
\sin\varphi=\frac{2\tg\alpha}{1+i\tg^{2}\alpha }}\)

Sinus i cosinus kąta są liczbami rzeczywistymi, a prawe strony obu równań są zespolone, więc coś jest nie tak.

\(\displaystyle{ z= \frac{1-i\tg\alpha}{1+i\tg\alpha}=\frac{(1-i\tg\alpha)(1-i\tan\alpha)}{(1+i\tg\alpha)(1-i\tan\alpha)}=\frac{1-\tan^2\alpha-2i\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\frac{2i\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{1+\tan^2\alpha}=\\\\
=\frac{\cos 2\alpha-i\sin 2\alpha}{\cos^2\alpha(1+\tan^2\alpha)}=\frac{1}{\cos^2\alpha(1+\tan^2\alpha)}\cdot \bigg( \cos(-2\alpha)+i\sin(-2\alpha)\bigg) \Rightarrow \\\\ \Rightarrow \arg(z)=-2\alpha}\)

[forgottenhopes]

Mój błąd przy kopiowaniu składników, już poprawiam ;p
I dziękuję za pomoc.

Mam jeszcze pytanie o argument główny. Bo ma on należeć do przedziału \(\displaystyle{ <0,2 \pi )}\),a podstawiając ustalone wartości dla \(\displaystyle{ \alpha}\) wydaje mi się że \(\displaystyle{ Argz=-2 \alpha}\) nie spełnia tego warunku. Mógłby mi ktoś to wyjaśnić? Ewentualnie wyprowadzić z błędu?-- 31 maja 2012, o 09:31 --Bardzo proszę o wyjaśnienie

[Mariusz M]

octahedron, dzielenie można było wykonać na postaci trygonometrycznej
Wtedy kąt widać od razu

forgottenhopes, Kąt powinien należeć do tego przedziału

\(\displaystyle{ Arg z= 4\pi-2\alpha}\)

[forgottenhopes]

Dziękuję za odpowiedź