Twierdzenie o trzech liczbach zespolonych

[Agniezcka]

Założenie: \(\displaystyle{ |z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=1}\)
Teza: \(\displaystyle{ z_{1}+z_{2}+z_{3}=0 \Leftrightarrow z_{1}, z_{2}, z_{3}}\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Proszę o dokładne wytłumaczenie.

[ares41]

Punkty leżą na okręgu jednostkowym.
Wykorzystaj postać trygonometryczną dla dowodu "z prawej na lewą".

[Agniezcka]

Moduł wynosi jeden czyli postać trygonometryczna to \(\displaystyle{ \cos \alpha +i\sin \alpha}\)
Później korzystałam z tego, że kąt wynosi \(\displaystyle{ 60^0}\) i wychodziła mi sprzeczność.

[ares41]

Przesunięcie pomiędzy kolejnymi liczbami wynosi \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) - dzielimy okrąg na trzy równe części

[cAww]

\(\displaystyle{ " \Leftarrow "}\)
Skoro \(\displaystyle{ z _{1}, z _{2}, z _{3}}\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego, to tworzą one trójelementowy zbór pierwiastków zespolonych. Możemy skorzystać ze wzoru, na podstawie którego wyznacza się pierwiastki zespolone n-tego stopnia, znając jeden z nich, czyli:
\(\displaystyle{ w _{k}=w _{0}(\cos \frac{2k\pi}{n}+i\sin \frac{2k\pi}{n})}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ z _{2}=z _{1}(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3})=z _{1}(- \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2})=- \frac{1}{2}z _{1}+i \frac{ \sqrt{3} }{2}z _{1}}\)
\(\displaystyle{ z _{3}=z _{1}(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3})=z _{1}(- \frac{1}{2}+i(- \frac{ \sqrt{3} }{2}))=- \frac{1}{2}z _{1}-i \frac{ \sqrt{3} }{2}z _{1}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ z _{1}+z _{2}+z _{3}=z _{1}- \frac{1}{2}z _{1}+i \frac{ \sqrt{3} }{2}z _{1}- \frac{1}{2}z _{1}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} z _{1}=z _{1}-z _{1}=0}\)

[Agniezcka]

A jak zabrać się za dowód w drugą stronę?

[Lorek]

\(\displaystyle{ z_1+z_2+z_3=0\Rightarrow |z_2+z_3|=|z_1|=1\Rightarrow |z_2+z_3|^2=1}\)
przechodząc na postać trygonometryczną \(\displaystyle{ z_n=\cos a_n+i\sin a_n}\), licząc moduł i podnosząc do kwadratu mamy
\(\displaystyle{ (\cos a_2+\cos a_3)^2+(\sin a_2+\sin a_3)^2=1}\)
podnosimy do kwadratu, korzystamy z jedynki i mamy
\(\displaystyle{ 2\cos a_2\cos a_3+2\sin a_2\sin a_3+1=0\iff \cos (a_2-a_3)=-\frac{1}{2}}\)
Podobnie robimy dla pozostałych par. Wiadomo co dalej?

[norwimaj]

Dowodząc w prawo można skorzystać z reguły równoległoboku:

\(\displaystyle{ |z_1-z_2|^2=2|z_1|^2+2|z_2|^2-|z_1+z_2|^2=2|z_1|^2+2|z_2|^2-|-z_3|^2=2+2-1=3}\),

analogicznie \(\displaystyle{ |z_1-z_3|^2=|z_2-z_3|^2=3}\).

[Agniezcka]

Lorek, skąd bierze się pierwsza linijka?

[ares41]

\(\displaystyle{ z_1+z_2+z_3=0\\
z_2+z_3 =-z_1}\)
Moduły obu stron muszą być równe.

[Agniezcka]

A w regule równoległoboku, jak już pokażę, że te moduły są równe 3 to co mi to daje?

[ares41]

Wtedy pokazane zostało, że odległości pomiędzy kolejnymi liczbami zespolonymi są równe, co wobec ich rozmieszczenia na okręgu daje tezę.

[Agniezcka]

Dzięki za pomoc:)