funkcja lograytmiczna

[MarlenQs]

Niech f bedzie dziedzina logarytmu na \(\displaystyle{ C/\ \{x \leq 0 \}}\), ktory przyjmuje dla -i wartosc \(\displaystyle{ \frac{i7\pi}{2}}\). Wyznacz f(i).

[Dasio11]

Chyba chciałaś powiedzieć: Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie gałęzią logarytmu na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb C \setminus \{ x+y \mathrm i \in \mathbb C: x \le 0 \wedge y \in \mathbb R \}.}\)

Weźmy sobie krzywą \(\displaystyle{ z(t)=e^{\mathrm i t}, \ -\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2}.}\) Krzywa zawiera się w całości w obszarze istnienia logarytmu, więc logarytm musi być na niej ciągły. Stąd

\(\displaystyle{ \log z(t) = \mathrm i t + 2k \pi \mathrm i}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb Z}\) i dla wszystkich \(\displaystyle{ t \in \left< -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right>.}\) Ponieważ

\(\displaystyle{ \log z \left( - \frac{\pi}{2} \right) = \log( - \mathrm i ) = \frac{7 \pi \mathrm i}{2},}\)

to

\(\displaystyle{ 2 k \pi \mathrm i = \frac{7 \pi \mathrm i}{2} - \left( - \frac{\pi \mathrm i}{2} \right) = 4 \pi \mathrm i,}\)

a więc

\(\displaystyle{ \log z(t) =\mathrm i t + 4 \pi \mathrm i.}\)

W szczególności

\(\displaystyle{ \log \mathrm i = \log z \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi \mathrm i}{2} + 4 \pi \mathrm i = \frac{9 \pi \mathrm i}{2}.}\)


Prościej, idziemy od \(\displaystyle{ - \mathrm i}\) po jakiejś ciągłej linii do \(\displaystyle{ \mathrm i,}\) nie wychodząc poza obszar istnienia logarytmu. Takie krzywe muszą obchodzić zero z prawej strony, więc we wzorze

\(\displaystyle{ \log z = \ln |z| + \mathrm i \arg z}\)

argument rośnie. Z warunków zadania wiemy, że musimy wziąć \(\displaystyle{ \arg( - \mathrm i ) = \frac{7 \pi}{2},}\) a w drodze z \(\displaystyle{ - \mathrm i}\) do \(\displaystyle{ \mathrm i}\) argument zmieni się o \(\displaystyle{ \pi,}\) więc

\(\displaystyle{ \log \mathrm i = \ln | \mathrm i | + \left( \frac{7 \pi \mathrm i}{2} + \mathrm i \cdot \pi \right) = \frac{9 \pi \mathrm i}{2}.}\)