Potęga liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
ocelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 18 gru 2011, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

Potęga liczby zespolonej

Post autor: ocelon »

Proszę o sprawdzenie :
\(\displaystyle{ (1-i)^{1+i}=(1-i)(1-i)^i = (1-i)(e^{ \frac{-i \pi }{4}} )^i}=(1-i) e^{ \frac{ \pi }{4} }}\)
Kanodelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1267
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malbork
Podziękował: 419 razy
Pomógł: 114 razy

Potęga liczby zespolonej

Post autor: Kanodelo »

Wydaje mi sie, że tu trzeba zastosować wzór \(\displaystyle{ z^w=e^{w\text{Ln} (z)}}\) gdzie \(\displaystyle{ \text{Ln}(z)=\ln|z|+i\arg(z)}\), ale nie jestem pewien na 100%
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Potęga liczby zespolonej

Post autor: Dasio11 »

\(\displaystyle{ 1- \mathrm i \neq e^{-\frac{\pi \mathrm i}{4}}.}\)
ocelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 18 gru 2011, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

Potęga liczby zespolonej

Post autor: ocelon »

Zgubiłem moduł liczby zespolonej czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) ?

\(\displaystyle{ 1- \mathrm i = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi \mathrm i}{4}}}\)

Teraz problem jak pozbyć się takiego wyrażenia ?
\(\displaystyle{ (\sqrt{2}) ^i}\)

Osobiście zrobiłbym to tak :

\(\displaystyle{ (\sqrt{2}) ^\mathrm i = e^{\mathrm i \ ln \sqrt{2}} = \cos(\ ln \sqrt{2}) +\mathrm i \ sin (\ ln \sqrt{2})}\)
ODPOWIEDZ