udowodnij nierówność (argument liczby zespolonej)

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
zdunekpolska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 128
Rejestracja: 8 wrz 2009, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

udowodnij nierówność (argument liczby zespolonej)

Post autor: zdunekpolska »

\(\displaystyle{ \left| \frac{z}{\left| z\right| }-1 \right| \le \left| Argz\right|}\)
ja bym sam zamienił \(\displaystyle{ Argz}\) na \(\displaystyle{ sin \frac{b}{\left| z\right| }}\)
albo spotęgował obustronnie
Ostatnio zmieniony 24 maja 2012, o 18:34 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Marcinek665
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

udowodnij nierówność (argument liczby zespolonej)

Post autor: Marcinek665 »

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \left| \frac{z}{\left| z\right| }\right| = 1}\), dowód pozostawiam jako proste ćwiczenie na podstawienia \(\displaystyle{ z=a+bi}\).

Podstawmy wobec tego \(\displaystyle{ \frac{z}{\left| z\right|} = \cos x + i\sin x}\), gdzie \(\displaystyle{ x= \arg z}\). Wówczas nasza nierówność przybiera postać:

\(\displaystyle{ \left| \cos x + i\sin x - 1\right| \le \left| x\right|}\)

\(\displaystyle{ (\cos x - 1)^2 + \sin^2 x \le x^2}\)

\(\displaystyle{ x^2 + 2 \cos x - 2 \ge 0}\)

Funkcja ta jest parzysta, więc ograniczymy się do \(\displaystyle{ x \ge 0}\), dla \(\displaystyle{ x=0}\) jest równość, a dla \(\displaystyle{ x > 0}\) mamy \(\displaystyle{ (x^2 + 2 \cos x - 2)' = 2(x-\sin x)>0}\), więc funkcja jest rosnąca, czyli nierówność jest prawdziwa. Ta ostatnia nierówność to znany fakt, który można dowieść geometrycznie i jeśli się nie mylę, jest potrzebna do pokazania, że \(\displaystyle{ (\cos x) = -\sin x}\), więc polecam jej jednak dowieść
ODPOWIEDZ