Dzielenie liczb zespolonch z potęgami?

[jokermat]

Witam. Jak się rozwiązuje tego typu przykłady, gdzie trzeba podzielić liczby zespolone z tym, że w mianowniku i liczniku są potęgi? Podejrzewam, że też się mnoży przez sprzężenie potem postać trygonometryczną ale co z tymi potęgami?

Przykład: Obliczyć

\(\displaystyle{ \frac{\left( \sqrt{3}-i \right)^{12} }{\left( 1+i\right)^{20} }}\)

[miodzio1988]

też się mnoży przez sprzężenie

Nie.

Najpierw dane liczby podnosisz do danej pot.ęgi

[zidan3]

postać trygonometryczna i wzór de Moivre'a

[jokermat]

to mam robić jak gdyby 2 postacie trygonometryczne? Dla licznika i mianownika??

[miodzio1988]

jak gdyby 2 postacie trygonometryczne? Dla licznika i mianownika??

Tak. A resztę usuń bo to są straszne bzdury

[jokermat]

ok czyli policzyłem postać tryg. dla licznika czyli dla \(\displaystyle{ \sqrt{3} -i}\) i odpowiedź do tego wyszła mi
\(\displaystyle{ \sqrt{3} -i=2\left( cos \frac{11}{6} PI+isin \frac{11}{6}PI \right)}\)

a dla mianownika postać trygonometryczna dla \(\displaystyle{ 1+i}\)
\(\displaystyle{ 1+i= \sqrt{2} \left( cos \frac{PI}{4}+isin \frac{PI}{4} \right)}\)

i teraz jak dobrze zrozumiałem dla postaci trygonometrycznej licznika i mianownika liczę te potęgi:

dla licznika:

\(\displaystyle{ z^{12}=2\left( cos \frac{11}{6} PI+isin \frac{11}{6}PI \right)}\)
\(\displaystyle{ z^{12}=2^{12}\left( cos*12 \frac{11}{6} PI+isin*12 \frac{11}{6}PI \right)}\)
\(\displaystyle{ z^{12}=2^{12}\left( cos22PI+isin22PI\right)}\)
\(\displaystyle{ z^{12}=2^{12}\left( cosPI+isinPI\right)}\)
\(\displaystyle{ z^{12}=2^{12}\left( -1+0\right)}\)
\(\displaystyle{ z^{12}=-2^{12}}\)

i to samo robię dla mianownika: już nie będę rozpisywał; wyszło mi na koniec
\(\displaystyle{ z^{20}=- \sqrt{2} ^{20}}\)

i teraz jeszcze coś dalej robię?

[miodzio1988]

dzielisz jeszcze te dwie liczby co Ci wyszły

[jokermat]

ok, czyli:

\(\displaystyle{ \frac{-2^{12}}{- \sqrt{2}^{20} }}\)
=\(\displaystyle{ \frac{-2^{12}}{-2^{10}}}\)
\(\displaystyle{ =-2^{2}}\)
\(\displaystyle{ =4}\)