Liczby zespolone - sprowadzanie do postaci tryg.

jokermat · Post autor: **jokermat** » 23 maja 2012, o 08:10

Witam. Mam wielką prośbę o pomoc z rozwiązaniem następującego zadania:
Oblicz \(\displaystyle{ z^{12}}\) gdzie z jest rozwiązaniem równania: \(\displaystyle{ \right] \left( 3-2i \right) z-3i=-1+2i}\)
Wiem ogólnie jak się wyznacza postać trygonometryczną liczby zespolonej ale w tym przypadku mam mały problem z rozwiązaniem tego zadania... Doszedłem do tego, że wyszły mi jakieś ułamki, coś chyba trzeba zrobić z jakimś sprzężeniem ale nie bardzo wiem o co chodzi. Bardzo bym prosił o rozwiązanie tego zadania w zrozumiały i jasny sposób. Będę wdzięczny. Pozdrawiam.

leapi · Post autor: **leapi** » 23 maja 2012, o 08:56

Przekształcasz do postaci
\(\displaystyle{ z=\frac{-1+5i}{3-2i}}\)

mnożysz przez sprzężenie mianownika (operacja podobna do uswania niewymierności z mianownika
\(\displaystyle{ z=\frac{-3-2i+15i-10i^2}{9-4i^2}=\frac{-3+13i+10}{9+4}=\frac{7+13i}{13}=\frac{7}{13}+i}\)

obliczasz moduł \(\displaystyle{ z}\)

\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\left( \frac{7}{13}\right) ^{2}+1^2 }=\sqrt{\frac{49}{169}+\frac{169}{169}}=\sqrt{\frac{218}{169}}=\frac{\sqrt{218}}{13}}\)

\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{218}}{13}\left( \frac{7}{13}\cdot {\frac{13}{\sqrt{218}}}+\frac{13}{\sqrt{218}}i\right)}\)

\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{218}}{13}\left(\frac{7}{\sqrt{218}}+\frac{13}{\sqrt{218}}i\right)}\)

\(\displaystyle{ \alpha =\arcsin\left( \frac{13}{\sqrt{218}}\right)}\)

\(\displaystyle{ z^{12}=\left(\frac{\sqrt{218}}{13} \right)^{12}\left( \cos\left( 12 \alpha\right) +i\sin\left( 12 \alpha \right) \right)}\)

mam nadzieje, że nie ma błedu

jokermat · Post autor: **jokermat** » 23 maja 2012, o 09:45

Ok, dziekuje Ci bardzo na wstepie za pomoc ale wytlumacz mi jeszcze prosze. Naphsz dokladnie przez co mnoze przez jakie sprzezenie bo cos kurcze nie zgadza mi sie w znakach. I powiedz mi jeszcze prosze skad sie wzial tem arcsin? Nie rozkada sie to tak jak cos pi i sin pi? Bardzo prosze o wytlumaczenie i z gory dziekuje.

leapi · Post autor: **leapi** » 23 maja 2012, o 10:46

wykasowała mi sie jedna linijka kody i nie wszystko dopisałem

\(\displaystyle{ z=\frac{-1+5i}{3-2i}\cdot\frac{3+2i}{3+2i}}\)

podobnie jak usuwanie pierwiastka kwadratowego z mianownika mnożysz wszytko

\(\displaystyle{ \frac{-3-2i+15i-10i^2}{9-4i^2}}\)

pamietaj, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\) stąd zmiana znaków

\(\displaystyle{ \frac{-3-2i+15i+10}{9+4}=\frac{7+13i}{13}}\)

a co do \(\displaystyle{ \arc\sin}\) to definicja

\(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{1}{2}}\) to \(\displaystyle{ \alpha =\frac{\pi}{6}}\)
ale jak nie ma takiego ładnego wyniku

\(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{1}{10}}\) to \(\displaystyle{ \alpha =\arcsin \frac{1}{10}}}\)

jokermat · Post autor: **jokermat** » 23 maja 2012, o 11:02

ok, ale słuchaj z tego przejścia \(\displaystyle{ z=\frac{-1+5i}{3-2i}\cdot\frac{3+2i}{3+2i}}\) po wymnożeniu wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-3-2i+15i+10i^2}{9-4i^2}}\) i dalej licząc \(\displaystyle{ \frac{-3+13i-10}{9+4}=\frac{-13+13i}{13}}\) więc \(\displaystyle{ =-1-i}\)

Ja właśnie tak policzyłem. Sprawdź proszę i odpowiedz jak możesz.

leapi · Post autor: **leapi** » 23 maja 2012, o 18:58

tak, tak pomyliłem się w znaku, Ty masz wynik poprawny, poradzisz sobie sam?

jokermat · Post autor: **jokermat** » 23 maja 2012, o 19:23

co prawda rozwiązałem do końca ale bardzo bym Cię prosił o wysłanie rozwiązania do końca w celu upewnienia się. Będę wdzięczny

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 23 maja 2012, o 19:29

Pokaż jak to rozwiązałeś do końca

jokermat · Post autor: **jokermat** » 23 maja 2012, o 19:35

\(\displaystyle{ Z= \sqrt{(-1)^2+0^2}= \sqrt{1+0} =1}\)

\(\displaystyle{ \cos = \frac{-1}{1} =-1}\)

\(\displaystyle{ \sin = \frac{0}{1} =0}\)

więc II ćwiartka --> \(\displaystyle{ \pi- \alpha =\pi-0 \ (\text{bo dla } \cos =1 \text{ i } \sin =0 \text{ to O})=\pi}\)

ODP: \(\displaystyle{ Z=1\left( \cos \pi+i \sin \pi\right)}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 23 maja 2012, o 19:36

\(\displaystyle{ =-1-i}\)

To Ci nie wychodzi

jokermat · Post autor: **jokermat** » 23 maja 2012, o 19:38

??? Nie rozumiem, może mógłbyś odrobinę jaśniej precyzować swoje odpowiedzi...?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 23 maja 2012, o 19:40

Jak masz postać trygonometryczną to Ci powinna wyjść ta liczba. nie wychodzi

jokermat · Post autor: **jokermat** » 23 maja 2012, o 19:41

w takim razie dzięki za podpowiedź... i pomoc....

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 23 maja 2012, o 19:42

Spoko. Polecam się na przyszłość

jokermat · Post autor: **jokermat** » 23 maja 2012, o 19:44

Trzymajcie mnie bo nie wytrzymam! Nie polecaj się - na pewno nie skorzystam! :]-- 23 maja 2012, o 19:51 --leapi, mógłbyś się wypowiedzieć na ten temat? Wydaje mi się, że dobrze dokończyłem?