Zbiór liczb zespolonych

[wiskitki]

Narysować zbiory liczb zespolonych spełniających warunki:
a)\(\displaystyle{ \pi \le \arg \left[ \left( -1+i\right)z \right]\le \frac{3\pi}{2}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}\le \arg(z^3)\le\pi}\)
W zbiorze Skoczylasa jest rozwiązanie i w przykładzie a)korzystają ze wzoru \(\displaystyle{ \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2+2k\pi}\)i przekształcają powyższą nierówność do postaci \(\displaystyle{ \pi\le\frac{3\pi}{4}+\arg z+2k\pi \le \frac{3\pi}{2}}\), a następniepiszą, że \(\displaystyle{ 0\le\arg z\le 2\pi}\), więc \(\displaystyle{ k=0}\).
Przykład b) rozwiązują podobnie, tylko że korzystają ze wzoru\(\displaystyle{ \arg(z^n)=n\arg z+2k\pi}\) i przekształcają tę nierównośćdo postaci \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}- \frac{2k\pi}{3}\le \arg z\le \frac{\pi}{3}- \frac{2k\pi}{3}}\), a potem piszą, że \(\displaystyle{ 0\le\arg z\le 2\pi}\), czyli \(\displaystyle{ k=0 \vee k=-1 \vee k=-2}\)...
No więc czemu w pierwszym przykładzie \(\displaystyle{ k=0}\), a w drugim sąaż 3 możliwości?

[Lorek]

No cóż, zakładamy, że \(\displaystyle{ \arg z\in [0,2\pi]}\). Rozwiązując pierwszy przykład otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}-2k\pi\le \arg z\le \frac{3\pi}{4}-2k\pi}\), czyli rodzinę przedziałów postaci \(\displaystyle{ \left[ \frac{\pi}{4}-2k\pi; \frac{3\pi}{4}-2k\pi \right],\ k\in\mathbb{Z}}\). Biorąc pod uwagę nasze założenie zostaje nam przedział \(\displaystyle{ \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]}\), bo dla pozostałych \(\displaystyle{ k}\) przedziały nie mają punktów wspólnych z \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\). W drugim przykładzie przedziały przecinają się niepusto z \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\) dla 3 wartości \(\displaystyle{ k}\), stąd 3 wyniki.

A pomijając już to założenie o przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\) to zauważ, że na płaszczyźnie zbiór \(\displaystyle{ \varphi<\arg z< \psi}\) wygląda tak samo jak \(\displaystyle{ \varphi+2k\pi<\arg z<\psi+2k\pi}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) (coś w rodzaju okresu), więc po co to samo rysować wiele razy, jak można raz A w drugim przypadku wartości będą się nam powtarzać "co 3", więc trzeba wybrać 3 dowolne kolejne liczby i ma się całe rozwiązanie.